【回答】回転体の通過領域 | AKB48&SKE48を生きた瞬間～松井珠理奈・松井玲奈/秦佐和子・矢神久美･小野恵令奈～

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【回答】回転体の通過領域

※3次元空間の回転行列を使います。

※空間把握が少し苦手なので少々強引な手段を用いています

（1）

線分BCは、媒介変数tを用いて

$y=x=t,z=1\Big(0\leq t\leq \frac{1}{\sqrt2}\Big)$

と表せる。線分BC上の任意の点をx軸を中心に回転させる。x軸周りの回転を表す回転行列は

$f(\theta )=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta& -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta& -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t\\ t\\ 1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} t\\ t\cos\theta-\sin\theta \\ t\sin\theta +\cos\theta \end{pmatrix}$

xy平面の通過領域を求めるので

$t\sin\theta +\cos\theta =0$ ←z座標=0

$\therefore \begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} t\\ t\cos\theta-\sin\theta \\ 0 \end{pmatrix}$

整理すると

以上より、求める図形は、双曲線の一部である

$x^2-y^2=-1\ \ \Big(0\leq x\leq \frac{1}{\sqrt2}\Big)$

（2）

y≧0とする

線分OCの、xy平面における通過領域は、y=t(0≦t≦1)

線分OAの、xy平面における通過領域は、y=x(0≦x≦1/√2)

線分ABの、xy平面における通過領域は、y=t(1/√2≦t≦3/√6)

y≦0も対称性より明らか

※図は省略

≪補足説明≫

「3次元の回転行列+軌跡」を用いました。

回転方向は、点Cを90°回転させると(0,0,1)に一致する方向を正としています

ちなみに、点B（1/√2,1/√2,1）のxy平面での通過点（射影？）は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta& -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/\sqrt2\\ 1/\sqrt2\\ 1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1/\sqrt2\\ 1/\sqrt2\cos\theta-\sin\theta \\ 1/\sqrt2\sin\theta +\cos\theta \end{pmatrix}$

z座標=0より

$\sin\theta +\sqrt2\cos\theta =0$

$\sqrt3\sin(\theta +\alpha ) =0$

但し、

$\cos\alpha =\frac{1}{\sqrt3},\sin\alpha =\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$

θ=-αの時、z=0となる。その時のy座標は

$\frac{1}{\sqrt2}\cos(-\alpha )-\sin(-\alpha )=\frac{3}{\sqrt6}$

この結果は、線分BCのxy平面における通過領域

において、x=1/√2を代入した時のyの値と一致している