極線って知ってる？
現役生の定期テストシーズンに加え、他にたくさんお仕事を頂きまして、バタバタと忙しくしております。
さて今日は、美しい図形の性質のご紹介です。
数Ⅱの「図形と方程式」の分野に登場する（！？）ことがある「極線」についてです。
「え？そんなの知らない。習ったっけ？」
と思った方、別に大丈夫です。教科書には登場しない用語です。
しかし、問題集なんかにチラッとだけ登場します。マニアックな知識と思ってＯＫです。
しかし、その性質がとても美しくて素晴らしい！
では、具体的に見ていきましょう。
極線の性質
まず、原点中心の円を書きます。半径は何でも良いですから、ｒとしておきましょう。
すると、円の方程式はｘ＾２＋ｙ＾２＝ｒ＾２ですね。
この円の外側に、点Ｐ（ａ、ｂ）を取ります。
そして、そこから円に接線を引くと、２本の接線が書けますね。この接点をＴとＴ’としておきましょう。
すると、なんとＴとＴ’を通る直線の方程式がａｘ＋ｂｙ＝ｒ＾２になります。
円の方程式に登場する、２つのｘのうち１つを点Ｐのｘ座標のａに変えて、２つのｙのうち１つを点Ｐのｙ座標ｂに変えるだけ
という、シンプルで美しい性質が登場します。
↓この画像の、左半分に載っています。
※先ほどの画像の、右半分に説明と証明が載っています。
あらゆる二次曲線で成立する！！
しかも、この性質、円じゃなくても成り立ちます。
二次曲線と呼ばれる、楕円、放物線、双曲線であれば、どんな図形でも成立するのです！
これ、衝撃だと思いませんか？
皆さんも、お手元の紙とペンでやってみて下さい。
放物線や双曲線は、やや書きにくいので楕円から書いてみると良いと思います。
本当に、元の点を通ることが確認できるはずです。
証明は、画像の右半分のものを、楕円、放物線、双曲線に応用すれば、ほぼ同じ計算で出来ます。不思議ですよね～。
こういう美しい図形の性質があるから、数学は面白い！
また、機会があったら紹介します。
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