前回は空気抵抗を受けるばね振り子の強制振動を支配する

２階線形微分方程式に現れる質点に作用する３つの力の

大きさと位相のずれについて書きました。

今回の投稿では、角振動数ωを変化させたときの

３つの力の反応についてみていきます。さて３つの力とは、

①　慣性力ｆ₁=　m*d²X /dt²=-m*ω²*A*cos(ω*t-δ)

②　空気抵抗ｆ₂=　2*m*γ*dX/dt2*=-m*γ*ω*A*sin(ω*t-δ)

③　単振動の復元力ｆ₃=　m*ω₀²*X　=m*ω₀²*A*cos(ω*t-δ)　

上にあげた３つの力のベクトル的関係図は、

以前にも示しましたが、

下図のようなものです。

外力の角振動数ωが固有角振動数ω₀の付近では、

変位Ｘ（ｔ）の振幅Ａはとびぬけて大きくなります。

これは、共鳴をおこすからです。

このことは、非常によく知られている事柄で実際に

ω≒ω₀の付近では物理的に興味深い現象が生じますが、

まずは、ωがω₀よりも非常に小さい場合（ω≪ω₀）

外力の角振動数ωがω₀よりも非常に大きい場合（ω≫ω₀）の

２つの場合をみていきます。

①ω≪ω₀　の場合　この時は、おもりは、必然的に

外力に同調しして、

振動する、と考えられます。

振幅は、一定の外力ｆ₀（外力の振幅）による

変位ｆ₀/(m*ω₀²)から、あまり、違ってくることはありません。

②ω≫ω₀の場合　この時は、高い振動数による

大きな加速のため　

慣性力ｆ₁＝m*d²X/dt²=-m*ω²*A*cos(ω*t-δ)　

が大きくなります。そして、振幅は、小さくなります。

以上のことは、以下のことを示しています。

①ω≪ω₀　の場合 m*d²X/dt²のの項が、ｋ*ｘ　の項に比べて

あまり重要ではありません。

これは、応答がばねの「硬さ」に支配されている状態です。

そして

②ω≫ω₀　の場合 m*d²X/dt²のの項が、ｋ*ｘ　の項に比べて、

格段とおおきくなります。この項に比較して

ｋ*ｘ　の項は重要でなくなります。

応答は、慣性に支配されて、変位Ｘ（ｔ）と外力との位相のずれは、

πとなり、振幅は、小さくなります。

この２つの場合の位相のずれと振幅の違いは、

下図の１と２をみて下さい。

両者とも空気抵抗のない場合を扱っていますが、

図１を見てください。支持点ＡとＢを周期的に振動させます。

すると、左側の図（ω＜ω₀）の場合では、

支持点Ａ、Ｂと糸の下端につけられた質点Ｐ、Ｑは、

中心線の同じ側に存在し、外力とその応答である変位Ｘとは、

位相のずれがないことを示しています。

右側の図（ω＞ω₀）の場合では

支持点Ａ、Ｂと糸の下端につけられた質点Ｐ、Ｑは

中心線の反対側に存在し、外力とその応答である変位Ｘとは

、位相のずれは、πであることを示しています。

振幅に関しては、

左側（ω＜ω₀）の場合は、

支持点Ａ、Ｂに加える周期的外力の振幅の値（一定）を

加えた場合とあまり変わりません。

右側（ω＞ω₀）の場合は、振幅は、小さくなります。

今回の投稿では、ωに関する2階線形微分方程式の

３つの力の項のωによる変化を見てきました。

次回の投稿では、空気抵抗を受けるばね振り子の強制振動

での力とエネルギーの移動等を見ていきます。

空気抵抗を受けるばね振り子の強制振動③