筑波大附属小の田中博史さんの「単項演算のかけ算と二項演算のかけ算」については，その批判を含めて，黒木玄さんのtwilogで教えてもらった。http://ameblo.jp/metameta7/entry-11134977342.html#main
http://twilog.org/genkuroki/date-120114/asc
根上生也さんの「かけ算には倍概念と積概念の２つがある」という話と大体同じと理解すればよいということだ。
http://www.twitlonger.com/show/f6hhr2
かけ算とは何であり，子どもにどう教えればよいかについては，「算数教育ワールド」に短くない歴史がある。
※一般社会の常識や数学界の主流とかけ離れて，ガスパラゴス化（＠白川克http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.html
）した算数教育界を，私は，「算数教育ギョーカイ」と呼んだが，案の定「算数教育産業界」のことと誤解されてしまった。これも黒木玄さんの命名にならって「算数教育ワールド」と呼び直すことにする。ギョーカイよりワールドの方がはるかに品のあるメーミングである。閑話休題。
戦前の「緑表紙」の国定教科書や戦後の啓林館の教科書の執筆・編集者の塩野直道によれば，かけ算は「同数累加」の簡約算である。（同数累加と解するのは塩野の専売特許ではないが。）
1958年版と1968年版の『学習指導要領』の責任者の和田義信によれば，かけ算とは「基準量と割合から比較量を求めること」，つまり「割合＝倍」である。（これも，和田の専売特許ではないが，和田は，それまでの指導要領の同数累加の考え方の限界を超えるために，こう提起したのだった。）
戦前・戦後のこの2人の文部官僚の教え方を批判したのが遠山啓で，遠山は「量×量」としてかけ算を教えることを提唱した。
引用紹介したのは，1962年の年間売上ベストテンに入り，水道方式ブームを引き起こした『算数に強くなる おかあさんの算数教室』（毎日新聞社編，1962年）の133頁。（1）の図は「3」という共通の数を表していることがすぐわかるのに対し，（2）の図は，左にあるものが右にあるものの「3」倍を表しているが，おとなでも瞬間的にはわからない。このように，「「倍」は実体概念ではなく関係概念であり，一つの計算上の「操作」だから」（同書131頁），二年生の子どもにはなかなか理解されない，と当時の『学習指導要領』の教え方を批判している。
ところが，遠山啓の「量×量」を継承した銀林浩さんは，交換法則は数のかけ算では成り立つが，量のかけ算では成り立たないと言い出し，私を含める数教協ファンを驚かせ，失望させた。
http://ameblo.jp/metameta7/entry-10751152152.html
銀林さんの主張は，田中博史さんの，「単項演算の場合は，3×4と4×3の意味は異なる。これが抽象的な数になり2つの数が対等になったとき，二項演算になる。このときから交換法則が成立するようになる。」と変わらないのではないか。（前後関係で言えば，田中さんが銀林さんの説を受け入れたという関係だろうか？）
また，根上生也さんの，「倍概念は単位を変化させません。ベクトルのスカラー倍と考えてもよいです。この場合には明らかに掛け算には順番があります。」にも通ずるものがあるのか。
確かに，遠山啓が，「6人の子どもに4個ずつミカンをくばる問題」で，4×6でも，6×4でもどちらでも良い，と言ったとき（1972年）には，トランプ配りを考えれば6も「1あたり量」になるからという理由であって，「1あたり量×いくら分の量」という順序は守っていた。
しかし，遠山が，それまでのかけ算の教え方を批判して，「量×量」を提起したのは，次のようなことではなかったのか。
明治時代以来，かけ算は，「被乗数×乗数」として教えられてきた。（被乗数と乗数の交換法則を伴って。）
「被乗数」は「multiplicand」の訳，「乗数」は「multiplier」の訳であって，もともと漢字にあった用語ではない。中国と日本の数学にもともとあった用語は，被乗数にあたる語が「実」，乗数にあたる語が「法」だった。つまり，「実」はコンテンツ（モノ），「法」はオペレータ（ハタラキ）ということになる。これは英語の意味にも合っているだろう。multiplicandは「倍増されるモノ」，multiplierは「倍増するというハタラキ」だろう。
明治時代に「3×4」という数式表現が西洋から日本に入ってきたとき，「×」記号の前の数字がmultiplicand，後の数字がmultiplierだった。（今は，英語圏では逆になっているというのは，かけ算の順序論争の基礎知識になっているが。）
3×4＝12 という式は，3個のモノを4回乗せるハタラキで12個のモノが積まれたことを表していた。4個のモノを3回乗せるハタラキでも12個のモノが積まれるから，3×4＝4×3という交換法則が成り立つという理解だったのだろう。事象は違うが，事象の結果は同じ，という理解だったのだろう。
つまり，「被乗数×乗数」の順序は，「モノ×ハタラキ」という順序であった。ハタラキは，モノに対する働きだから，モノが先に来るのが「自然」だろう。ところが，本家の英語で，「3 multiplied by 4」と読まれていた「3×4」が，「3 times 4」と読まれることが主流になり，「ハタラキ×モノ」の順序になってしまった。モノの前にハタラキが来るのは ，猫が存在する前に猫の笑いがあるような気もするが，姓が先か名が先かの感覚かもしれない。
3×4で，後数がオペレータだということは，(3)(×4)という理解であり，交換法則も，(3)(×4) ＝(4)(×3)という理解だったのだろう。しかし，前数がオペレータに変わっていく過程で，交換法則の理解も，(3)(×4) ＝(4×)(3) も許容するものになったのではないか。つまり，(モノ3)(×ハタラキ4)＝(ハタラキ4×)(モノ3) という理解である。交換法則とは同一事象の異なる表記，という理解である。
何を隠そう，私のかけ算の交換法則の理解はこの型（新型）だった。つまり，
被乗数(3)×乗数(4)＝乗数(4)×被乗数(3)
同一事象の異なる表記としての交換法則は，現在，学習指導要領でも，長方形の面積の求め方，「縦(3)×横(4)＝横(4)×縦(3)」として認められているが，これも，もともとは「縦(3)×横(4)＝縦(4)×横(3)」という理解だったようだ。学習指導要領には，長方形の面積を求める公式として「縦×横」と「横×縦」の2つが明記されているが，平行四辺形の面積については「底辺×高さ」のみで，「高さ×底辺」が明記されていない理由は，元型の交換法則しか認めていないという疑いがある。http://ameblo.jp/metameta7/day-20110831.html
（つづく）