「無限」 をイメージではなく、
数学的に正確に扱うにはどうすればいいのでしょうか？
ここでは、無限を正確に扱うための 「操作としての無限」 について、
考えてみたいと思います。
無限には、無限大の記号 ∞ があり、
無限に大きな数のようなイメージがあります。
もちろん、無限に大きな数のように捉えることもできるのですが、
ここでは、「無限に大きな数に近づく」 という操作として無限大を捉えたいと思います。
どういうことかというと、
１，２，３，４，５，・・・
のように数が大きくなっていくことを考えます。
さらに、１００、１０００，１００００，・・・
と限りなく大きくなっていくことを 「無限大に近づく」 といいます。
正確には、ｎ という数（文字）があって、
ｎ が限りなく大きくなることを
n → ∞
と表します。通常は、lim の記号を使います。
これは ｎ を無限大に近づけるという操作を表します。
すなわち、操作としての無限です。
たとえば、
ｎ を無限大に近づけるとき、1/n はどんな数に近づくでしょうか？
ｎ が 1, 10, 100, 1000, ・・・ と大きくなるにつれて
1/n は 1, 0.1, 0.01, 0.001, ・・・ と小さくなります。
限りなく小さくなるわけですから、０に近づきます。
このとき、
1/n の極限は ０ であるといいます。
これを、ｎ→∞ のとき、1/n → ０
または、lim 1/n ＝０ と書きます。
このような極限操作としての無限を考えることで、
人は正確に無限を扱う第一歩を踏み出したといえるのです。
ニュートンによる微積分学の発見以来、
人類は、無限と真摯に向き合わなければならなくなりました。
人は無限を理解することができるのでしょうか？
18世紀の数学者オイラーは、
無限大より負の数の方が大きいのではないか、
と考えていました。
それは、1/x という分数の関数を考えて、
x をプラスの方向から 0 に近づけると、
1/x は無限大に近づくからです。
x軸で考えると、x がプラスの方向から 0 に近づくと、
さらに、その先に負の数があります。
このように、ニュートンやライプニッツにより
微積分学が構築された後でも、
人々は無限の不思議さに直面していました。
19世紀の数学者ガウスは、無限に否定的でしたし、
リーマンでさえ ∞ の記号を使わずに、1/0 と表記していました。
フランスのコーシーは、無限を厳密に扱いたいと考え、
微積分学の教科書を執筆しました。
その流れをくみ、1860年代のワイエルシュトラスによる講義により、
イプシロン・デルタ論法が完成しました。
これら、
数学者たちの英知の結集の結果、
微積分学で 「無限」 を厳密に扱うことができるようになりました。
しかし、
これで完全に無限を扱えるようになったわけではありません。
「無限」 は、微積分学以外にも表れ、
数学者や物理学者たちの前に立ちふさがっているのです。
人類は、まだ無限の正体をつかみきれていないのです。
無限 、 、 、
それは、人の感覚を超えた不思議な存在。
「無限」 という不思議な存在に対して、
数学者たちは知性で立ち向かっています。
これからも、無限の神秘を解明しようとする人類の挑戦は続くのです。
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