a^a=b^b, a≠bを考える
今日はちょっと小難しいことを考えてみる。というか、今の私の頭の中にモヤモヤっとしたものだ。y=xxという式があり、上に示したような曲線を描く。今回は、00=1としておいても、不定でもいいかな。aa=bba≠bを満たす(a, b)の組を考える。図からも解るので、0<a<b<1としても良いだろう。a, bを共に有理数としたとき、どんな式が作れるのかを考えてみた。nを自然数とすると、 a= ⎛ ⎝ n n+1 ⎞ ⎠ n+1 b= ⎛ ⎝ n n+1 ⎞ ⎠ n という式を導き出せた。 n a b aa=bb 1 1/4 1/2 0.7071054852... 2 8/27 4/9 0.6973865635... 3 81/256 27/64 0.6948219552... 4 1024/3125 256/625 0.6937799567... 5 15625/46656 3125/7776 0.6932554238... … … … … といったように、a、bは共に分母分子が整数、つまり有理数となっていることが解るだろう。さて、先のグラフは半開空間(0,1]で連続なので、nを正の整数に限定する必要はない。つまり、nの範囲も正の有理数、正の無理数、正の代数的数、正の超越数、正の実数、といったように考えることが出来るということだ。例えば、n=1/2といった有理数にすると、a、bは無理数となる。a=(1/3)(3/2)は、9x3-1=0の解b=(1/3)(1/2)は、3x2-1=0の解なので、代数的数である。ここまでは良いと思うんだ。例えば、n=1/πといった超越数にすると、a、bは超越数なのだろうか。実は、上グラフの赤線がそれである。例えば、ππが無理数であることは分かっているが、超越数かどうかまでは未だ解っていないのだ。因みに、eπは超越数であることは証明済みで、おそらく、オイラーの公式を変形して、ゲルフォント=シュナイダーの定理を使えば証明出来るんだろう。例えば、aは有理数で、bは無理数、みたいなことは起こるのか。例えば、a=1/6とすると、b=eW(-log(6)/6)といったことになる。W()は、ランベルトのW関数で、私は良く理解出来ていないので、説明出来ないので、ウィキペディアを貼っておく。https://ja.wikipedia.org/wiki/ランベルトのW関数ランベルトのW関数 - Wikipediaja.wikipedia.orgさて、bはeのW(-log(6)/6)乗という形で表されている。これを、オイラーの等式を使って、ゴニョゴニョするんだろう。小難しいどころではなくなってきたな。謎は謎のまま、私の頭の中のモヤモヤしたものを吐き出せた?掃き出せた?ので、また別のことでも考えようかな。ではではtable.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;} .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}