1 + 1 = 2 を証明せよ。

2年前、記号論理学の講義で一度だけ聞いたことがあります。
ずーっと憶えていましたが、最近まできちんと解釈できなかったんです。
ただ、ようやく最近こんな意味だったのかなというところまで分かってきたので自分なりの解釈で書いてみようと思いました。

1 + 1 = 2のような単純な命題ほど、証明という言葉の意味が難しくなってしまうものです。
問題は、証明が何に依拠して良いかということ。
まあ、この辺もいろいろあるみたいです。(何の命題にも依拠しない体系というのも主張されてたりするみたいですよ。良く知らないけど。)
今回はあまり気にしないでなるべくコンパクトに証明するという方針で・・・。

まずは問題を整理しよう。

問題はあくまで 1 + 1 と 2 が = であることを証明するものです。

当たり前ですが、これは重要なことです。
何かというと、1,2,+,=は先に定義されていないと問題が成立しないということです。
(つまり、例えば 2 を 1 + 1 で定義するというような体系は認められません。)

というわけで、
前提1.「自然数列」は存在する。(1, 2, 3, 4, 5, ....)

もうひとつ、数学よりも根源的な感じがする前提を用います。
前提2.「次」という概念が存在する。

それでは証明のはじまり～。

前提2より、
ある x について、その次のものを呼び出す関数S(x)を定義し、これを後続者関数と呼ぶ。
(※後続者関数 : 例えば、S(a) = b, S(b) = c, エ = S(ウ) = S(S(イ)) = S(S(S(ア)))みたいな感じです。)

一方、P(x) = x + 1 という関数を考える。

ここで、自然数列の要素 n について、
関数Sを作用させることと、関数Pを作用させることは同義なので、
P(n) = S(n)
n = 1 を代入して、
1 + 1 = 2
であることが証明された。

こんな駄文に最後まで付き合っていただいて申し訳ありません。

えっと、もうちょっと直感的に書いてみますね。

「あ」の次は「い」みたいに、数学的な意味を排除して「１」の次は「２」なのですよ。
一方、未だ計算されてない 1 + 1 というのがある。
で、たまたま自然数に関しては次の数を呼び出すということと、自然数の足し算における +1 するということが対応している。
故に、ある数 1 に +1 することと 1 の次を呼び出すという行為が等価である。
というわけで、1 + 1 = 2 が証明された。

う～ん・・・微妙。
一応、自分では分かっているつもり。