無限について　～濃度と連続体仮説～

こんにちは。

数学学芸員のようじです。

いよいよ「無限について」最後のお話です。

可算無限集合⇒自然数、整数、有理数、有理数方程式の解の集合・・・などなど

非加算無限集合⇒無理数、超越数・・・などなど

でした。

可算無限集合を記号で $\aleph_0$ （アレフゼロ）と表します。

$\aleph_0$ は無限の濃度の一番小さいものであり、このアレフゼロよりも小さい濃度はすべて有限集合になります。

また、非加算無限集合のうち、無理数や超越数といったものは $\aleph$ （アレフ）といいます。

ここである人はひょんなことを考えました。

「 $\aleph_0$ と $\aleph$ の間の濃度ってあるの？(´･ω･`)」

これが連続体仮説です。

結果をお話しますと、連続体仮説はゲーデルの不完全性定理の代表例として扱われているように、

「真か偽か証明できない」ことが証明されています。

自然数と実数の間の濃度があるかどうかを我々は証明することができないのですね。

シリーズでお話してきた無限。

最初にお話しましたように、無限は想像するだけで怖い気がします。

それだけ恐ろしいもの。

無限の取り扱いには十分にご注意くださいね！

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