明日はセンター試験・・・でも、ボクは中学・高校受験専門の講師なので・・・そっち方面へ・・・
今日は中学入試にたまに出題される「単位分数」の問題を紹介致しますね。
中学受験を控えている小学生の皆さんなら・・・おそらく一度は目にする問題なのですが・・・
こんなの・・・普通に答えられる小学生は凄いなぁ・・・と思ってしまうのはボクだけなのでしょうか
最初の問題は、分子が１の３つの分数の合計で2010分の767を作るという問題
２つ目の問題は、13分の19を小数にして規則性を見つけるという問題。
いかがでしょうか？
まずは最初の問題なのですが・・・
単位分数は難関中学入試において常套手段のように扱われるパズル問題・・・しかしこの問題は数が大きすぎますよね・・・？
2010という数に注目してみて下さい。この数は素数ではありません・・・つまり素因数分解ができるのです。
この問題は分母である2010を素因数分解して考えましょう。
すると2010＝２×３×５×６７ですね？
つまり、2010の約数は１, ２, ３, ５, ６, １０, １５, ３０, ６７, １３４, ２０１, ３３５, ４０２, ６７０, １００５, ２０１０ですからこれらを分母にした、分子が１の分数を考えて、３つの合計が７６７になる組み合わせを探さなくてはならないのです。
２分の１＝２０１０分の１００５
３分の１＝２０１０分の６７０
５分の１＝２０１０分の４０２
６分の１＝２０１０分の３３５
１０分の１＝２０１０分の２０１
１５分の１＝２０１０分の１３４
３０分の１＝２０１０分の６７
６７分の１＝２０１０分の３０
１３４分の１＝２０１０分の１５
２０１分の１＝２０１０分の１０
３３５分の１＝２０１０分の６
４０２分の１＝２０１０分の５
６７０分の１＝２０１０分の３
１００５分の１＝２０１０分の２
よってこれらから合計が７６７になる３つを探せばよいのです。
６７０＋６７＋３０の場合と４０２＋３３５＋３０の場合がそれにあたりますね。
よって答えは
３分の１,３０分の１,６７分の１の組み合わせと５分の１,６分の１,６７分の１の組み合わせとなりますね。
２問目は循環小数ですね。このような問題では「同じ数の並びを繰り返す」ことが前提となっていますので・・・その繰り返す規則を見つけることが必要なのですね。
では、実際に分数を小数で表すべく、分子を分母で割ってみましょう。
すると１９÷１３＝１．４６１５３８４６１５３８４６・・・というように、小数点以下の数は「４６１５３８」という６つの数が規則正しく並ぶのです。
よって１００番目の数は１００÷６＝１６余り４より, 「４６１５３８」という羅列が１６列できて、１７列目の４番目の数にあたるので５となります。
次にこの小数点以下の数の合計が４００になる境界となる数なのですが・・・そのためにはまず６つの数の合計が必要になります。４＋６＋１＋５＋３＋８＝２７ですね。
よって１列の合計が２７ですから
４００÷２７＝１４余り２２とすると,１４列分と,１５列目での合計が２２以上となるのは８まで加えたときですね。
よって１５列×６個＝９０で小数９０位まで加えると４００を超えることが分かるのです。
一番下の問題も「単位分数」の問題ですが・・・これは最初の物と少し勝手が違います。分母が１３ということは約数を持たないので上記のような方法は使えません・・・この場合は逆に１３に２倍, ３倍としていって分母を大きくして考えればよいのです。
パズルの問題は本当に難しいものです。