たけしのコマ大数学科#224
（旧名称・たけしのコマネチ大学数学科）
フジテレビ 2011年5月30日 深夜OA
今回のテーマは、
「反射」
（4月20日発売）
たけしのコマ大数学科 第10期 DVD-BOX
￥7,140 Amazon.co.jp
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反射！ということで、私、反射神経には自信があるほうなんですよ。
さあこい！
（ボールが飛んできて、よける戸部アナ）
どんなもんじゃい！
（戸部アナ）
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今回の東大生は、
秒殺シスターズ：衛藤樹さん（医学部6年）と伊藤理恵さん（医学部6年）。
春の学園祭シーズン到来ということで、学園祭の話。
東大では五月祭がありますが、どんな催し物があるかと聞かれると…。
医学部ではお客さんの骨密度と血圧を測ってくれるそうです。
マス北野の場合は、バンドで学園祭に呼ばれたのだとか。
ツービートでは、まぬけな大学に行ったと言ってました。（笑）
コマ大：
ダンカン 〆さばアタル 無法松 ガンビーノ小林
今回は『コマ大学園祭事件BEST3』。
第3位：ダンカン・某有名私立大学で…。
慶応の三田祭に呼ばれ、控室にサイン用の色紙が積まれていた！
しかし、慶応の「慶」の字がわからなくて苦労した～ というお話。
第2位：無法松・某農業高校で…。
駅に迎えに来たのが軽トラ！
白菜と一緒に荷台に乗せられ、揺れる道を白菜を押さえながらの道中。
帰りはお土産にスイカをもらったが、荷台でスイカを押さえながらだったとか。
第1位：ガンビーノ小林・某工業高校で…。
用意されていた楽屋に貼ってあった名前が『カンビール小林』！（笑）
問題：
図のようにAB=120を直径とする半円があり
Aから出た光が半円の内部で2回反射し
半径OB上の点Pを通るものとします。
光の方向をいろいろ変化させるとき、OPの最小値を求めなさい。
この問題は、インターネットサイトの『みっちの隠れ家』からの問題。
第143問：半円の内部で光が２回反射する問題（2010.10.23）
コマ大数学研究会の挑戦：
今回はスタジオ内？（会議室？）収録。
実際に鏡を使って検証しようというのですが…。
検証に成功した時のご褒美が、グラビアアイドルの平川舞弥ちゃん！
平川舞弥オフィシャルサイト 事務所プロフィール（ホワイトプロモーション）
平川舞弥（Twitter）
福岡出身なので、「よかよ～♥」の声に、一同メロメロ。（笑）
ということで検証ルールは、
床に描かれた問題の半円のA地点に水着姿の舞弥ちゃんを立たせて
その周りをコマ大から見えないようにカーテンで仕切る。
円周上にな2枚の鏡が用意されていて、
OB間にいるコマ大生の指示で鏡を動かし、
舞弥ちゃんを鏡で反射させて見ることのできる地点の最小値を探る。
ただし検証は一人ずつなので、自分の番以外は水着姿を見ることができない。
小林は真ん中が正解と予想。
→いつまでたっても自分しか映らなくて失敗。（中心点Oは見えない）
アタルは一番遠い点Bを選択。
→みごとに2枚の鏡に反射させて、舞弥ちゃんの水着姿が映った！（点BはOK）
ダンカン部長は、舞耶ちゃんにY字バランスを要求。
見たいばかりにアタルの場所とほぼ同じ地点で検証。
→見えたけど、それは入れ替わった無法松の足だった！（笑）
無法松は、M字開脚を要求。（検証地点は、点Bよりちょっと中心O寄り）
⇒小林は見事成功！バッチリ見えてました！！
（※この地点を答えにしたわけでなく もっと試して答えにしたみたい）
ともあれ、検証は終了。
「おつかれさまでした～」と舞弥ちゃんを、そのあと誘おうとしたコマ大でしたが
さっさと帰ってしまう舞弥ちゃんなのでした。
コマ大生は舞弥ちゃんの水着を鏡越しでしか見てないし、ダンカン部長は見てないし。
・・・っていうか、水着姿を見ようと真剣だったコマ大生が笑えました。
タカさんの決め文句
「Let's 反射！」
（ポーズは 両腕を斜め上に広げて反射を表現～）
対戦開始！
入射角と反射角が同じ、円の性質を使う、といういうのが先生からのポイント。
東大生は角度を変えて見当を付けている。
マス北野はコンパスを使って作図を始め、分度器をあてていた。
どちらのチームも目星はついていたようだが…。
コマ大生のコーナー
『コマ大生を学園祭に呼ぼう』
学園祭に行って、検証を一緒にさせてくださいってことみたい。
コマ大を呼ぶと、こんな特典があるってことで…。
・頭の出来がそーでもない学校でも優越感に浸れる
・女子高・女子大は無料（※ただし、ものすげーお下品な打上げつき）
・ガンビーノ小林の露店本格焼きそばも販売（一皿お勉強価格￥2000）
・農業高校に肥料を提供（こ・・・これは・・・）
半分本気で呼んでほしいみたい。
＜東大生プチ情報＞
（今回はナシ）
TIME UP！！
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解答：
コマ大チームの解答：
答え、48.5
（解説：）
真ん中より、かなり点Bに近い場所だった。
マス北野チームの解答：
答え、60cos36°
（解説：）
円に内接する正多角形を考えた。
正四角形（正方形）だと1回しか反射しない。
正六角形だと、点Bになってしまうから、
間を取って、正五角形しかない。
これが光が反射して最小値になるだろうと考えた。
東大生チームの解答：
答え、60cos36°
（解説：）
中心Oから鏡の反射点に線を引くと、
2回反射するということで、３つの合同な三角形ができる。
その3つ目の三角形の辺と直径ABとの接点が答え。
それが交わるための条件は、点Aからの角度（三角形の角）が６０～９０°の間。
その中で最小になるのは、3つ目の三角形の辺が、
直径ABと垂直に交わるときだろうと考えた。
＝集めた三角形が内接正五角形になる。
正解は：
48
ということで、
全員不正解！
一番近いのはコマ大生！
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美しき数学の時間 （先生の解説）
考え方：
簡単に考えるため、AO＝1とする。
最初の入射角をΘとすると、
反射点Sでの円の接線と半径（OS)が直交することから、∠ASO＝Θ。
入射角＝反射角なので2角はともにΘ。２辺はともに円の半径ということから
△AOS、△SOTは、合同な二等辺三角形。
そして、∠OTPも反射角なので、同じΘということになる。
では、OPがいつ最小になるのだろうか？
TPとOPが直角に交わるので、
東大生もマス北野も、OPは内接正五角形のときに最小になると考えた。
Θ＝５４°、△ASQ∽△TOPから
QS＝ ( 1+√5 ) / 4 ≒ 1.618 / 2 = 0.809 （←黄金比の半分）
すなわち、ｘ = 0.809 x 60 = 48.54
（※東大生やマス北野の答えの実数 そしてコマ大の答えが恐ろしく近い）
これが答えかと思いきや、もっと小さい値があった。
最小になるのは、OP=48ときっちりしている答だった。
（円の半径を１とすると、ｘ=0.8 。 AB=120なら48）
これは三角関数を使うとわかるそうで…。
∠OPT = 360°- 5Θ
△OPTに正弦定理を使うと、OP = x は、
OT / sin∠OPT = OP / sin∠OTP
1 / sin(360°-5Θ) = x / sinΘ
sin(360°-5Θ) = -sin5Θ より
x = -sinΘ / sin5Θ
Θで微分して
dx/dΘ = (-sin5ΘcosΘ + 5sinΘcos5Θ) / sin25Θ
微分して０になるのは
sin5ΘcosΘ = 5sinΘcos5Θのとき （★）
加法定理、２倍角の公式を使うと
・sin5Θ = sinΘ(5-20sin２Θ + 16sin4Θ）
・cos5Θ = cosΘ(1-12sin２Θ + 16sin4Θ）
(※これは、sin2Θからsin4Θを作って、sin（4Θ+Θ）とやってゆき、５Θの式を作る）
（★）式に代入して、sinΘcosΘで割って、ｙ=sin２Θとおくと
5 - 20y + 16y２ = 5(1-12y+16y２)
という、ｙ （=sin２Θ）の2次方程式になる。
整理して
64y２ - 40y = 0
解くと
y = 0 , 5/8
y = 0 だとΘ=0 となって不適。→ y= 5/8
ｘ = -1 / (5-20y+16y２)
= -1 / ( 5-20(5/8)+16(5/8)２)
= -4 / 5(4-10+5)
= 4 / 5 = 0.8
ここまでできるかな？時間内に解けるかな？
・・・と、意外な答えだったということもあって。
中村先生がセレクトした問題でありました。（難しかったね）
ちなみにほかの解きかたもあるそうです。
本日のちょっといい話？
円と鏡ということで、江戸川乱歩の『鏡地獄』の紹介
鏡地獄―江戸川乱歩怪奇幻想傑作選 (角川ホラー文庫)/江戸川 乱歩
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主人公の語る、鏡に憑かれた友人の話。
内部に鏡を張った球に入って出られなくなり、翌朝に
発狂して転げまわっているところを発見されるという内容みたい。
この状態を、どう見えるのか、
京都大学の基礎物理研究所（当時）の
永谷幸則先生がシュミレーションされたそうです。
永谷幸則のWeb Page（TOPページ）
（※永谷先生は2002年にイスラエルのワイツマン科学研究所に移られたという記述）
鏡地獄：球面鏡の内部のレイトレース｜永谷幸則のWeb Page
で紹介されているシミュレーション結果が番組で紹介されました。
（※このサイトに行くと、動く絵が見れます）
ちなみに、マス北野は自身の映画「アキレスと亀」で、これをやろうとしたらしい。
だが、カメラマンが中に入るとカメラが映り込むし、
金もかかるし大変だったのでやめたようです。
この絵を映画に取り入れようとしたマス北野はスゴイな。
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コマ大フィールズ賞：
今回は、なんと３週連続で
コマ大チームに！
水着を見れなかったダンカン部長が可愛そう、という理由もあっての受賞でした。
エンディングテーマが新しくなりました。
【エンディング曲・音座芸夢 収録アルバム】
快進のICHIGEKI/快進のICHIGEKI
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★あとがき
次回は「熱血ダンカン親子が野球検証！？」。
ぎゃはは！番組が終了と、ドラマ「名前をなくした女神」の番宣の間の1フレームに！
なんと！！ 平川舞弥ちゃんの水着ショットが差し込まれてる！！！
ここを何度も再生すると、サブリミナル効果で舞弥ちゃんの水着姿が
脳に焼きつけられてしまうのだろうかーーーっ！
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講師：中村亨
（1963年生まれ。東京大学大学院理学系研究科数学専攻修了、理学修士。）
著書：数学21世紀の7大難問 中村 亨 など
学研の参考書・辞典【コラム】中村あきら先生のマスマス数学
解答者：
マス北野
ポヌさん （ベナン出身・東大大学院生・マス北野の助っ人・ゾマホンの友人）
東大・秒殺シスターズ：衛藤樹（医学部6年）、伊藤理恵（医学部6年）
コマネチ大学生：
ダンカン 〆さばアタル 無法松 ガンビーノ小林
2011/5/30 深夜OA
コマネチ大学の前回までの記事
http://ameblo.jp/chablis/theme-10002941350.html
ガスコン研究所 ■コマネチ大学2006年度講義リスト（#１～42・マス1グランプリ含）
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