前回の続き。
正の数とは小学校で習った量を表した数で0より大きい数のこと。それに対してこれから習う数を負の数という。負でない数とは0とか正の数のこと。
文字は断りがない限り負でない数を表すとする。
負でない数の性質
加法、乗法の性質
交換法則 A+B=B+A、A*B=B*A
結合法則 （A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 、 （A*B)*C=A*（B*C)
分配法則 （A＋B）＊C＝A*C+B*C 、A*（B+C)=A*B+A*C
これらのことは以前有理数については証明した。
さらに0の性質 A+0＝0+A=A
1の性質 A*1＝1*A=A
大小関係についての性質
A<B なら A+C<B+C
これらの法則を保持したまま数を正負の数に拡張したい。
以上の性質が正負の数でも成り立つとして証明する。
前回証明したこと。
A-B=A+（－B) 、 ー（－A)=A 、 （－A)-(-B)=(-A)+B
（－A)+（－B)=-(A+B)
A<B なら A+（－B)=-(B-A) 、 ーB<-A
特に ーA＜０ なので 負の数は０より小さい数といえる。
正負の数の掛け算
（＋）*（＋）＝（＋） これは明らかだろう
（ー）*（＋）＝（ー） （－A)*B=－（A*B) を証明しよう。
0＝0*B=（（－A)+A)*B＝ 分配法則より（－A)*B+A*B
よって （－A)*B+A*B＝0。 すると （－A)*B は加法に対するA*Bの逆元になるので
（－A)*B=-(A*B)
同様に A*（－B)＝－（A*B)
（ー）*（ー）＝（＋） （－A)*（－B)=A*B の証明
0＝0*0＝（A+(-A))*（B+(-B))＝分配法則より A*B+A*（－B)+(-A)*B+(-A)*（－B)
＝今さっき証明したところより A*B+(-(A*B))+(-(A*B))+（ーA)*（－B)
＝逆元の性質より 0+(-(A*B))+（ーA)*（－B)＝(-(A*B))+（ーA)*（－B)
よって (-(A*B))+（ーA)*（－B)＝0 、両辺に A*Bを加えると
（ーA)*（－B)＝A*B エンド