図形の性質の調べ方は角度を求める。

三角形・四角形では証明問題となります。

（１）図形の性質の調べ方

① 対頂角は等しい

② 平行線の同位角、錯角は等しい

㋐　平行線 ℓ、ｍと折れ線の角の大きさを求める

→ 折れ線の頂点を通り直線 ℓ、ｍに平行な直線ｎをひく

２つの錯角の和より求める

③ 三角形の内角の和は１８０°である

㋑　頂角が８０°の三角形の２つの底角の二等分線が作る三角形の頂角を求める

→ 三角形の２つの底角を２a、２ｂとする

　　三角形の内角の和は１８０°なので

　　２a＋２ｂ＋８０°＝１８０°

　　２a＋２ｂ＝１００°

両辺を２でわる

　　a＋ｂ＝５０°

二等分線が作る三角形の頂角をｃとする

c+ a＋ｂ＝１８０°

ｃ＋５０°＝１８０°

ｃ＝１３０°

④ 三角形の外角はこれととなり合わない２つの内角の和に等しい

㋒　星形五角形の角の和、星形図形の先端の角の和を求める

→　三角形の内角と外角の関係を使って複数の三角形の角の和をひとつの三角形に角を集める

⑤ ｎ角形の内角の和は１８０°×（ｎ－２）である

⑥ 多角形の外角の和は３６０°である

㋓　正多角形のひとつの内角、外角を求める

→　⑤⑥のどちらを使っても求めることができる

⑥を使って先に外角を求める方法が簡単である

（例）　正八角形のひとつの内角、外角を求める

⑤より内角を求める

→　１８０°×（８－２）＝１０８０°

　　１０８０°÷８＝１３５°

内角１３５°　外角１８０°－１３５°＝４５°

⑥より外角を求める

→　３６０°÷８＝４５°　外角４５°

　内角１８０°－４５°＝１３５°

（２）　仮定と結論・定理の逆

①　〇〇〇ならば□□□である

という形で述べられたことがらの〇〇〇の部分を仮定、

□□□の部分を結論という

②　ある定理の仮定と結論を入れかえたものをその定理の逆という

　㋐　自然数ｎが４の倍数ならばｎは偶数である…③

　　　仮定　自然数ｎは４の倍数

　　　結論　ｎは偶数である

　　　③の逆は

　　　自然数ｎが偶数ならばｎは４の倍数である…④

　　　③は正しいが④は正しくない

　　　たとえば６は偶数であるが４の倍数ではない

　　　このような成り立たない例を反例という

（３）三角形の合同条件

① ３組の辺がそれぞれ等しい

② ２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

③ １組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

三角形の合同の証明では②③の合同条件を使った証明が多く出題される

㋐　合同の場合は対応する点が同じ順になるように書く

△ABCと△DEFが合同の場合

ＡとＤ、ＢとＥ、ＣとＦが対応する点になる

このことを使って証明を分かりやすくする

（例）△ABCと△DEFが合同であることを証明する

　　→△ABCの上部に１、２、３、△DEFの上部に①②③と書いておく

　　AB＝□の場合、１・２＝①② となるので

AB＝DE となる

∠ＡＣＢ＝∠□の場合、１・３・２＝①③② となるので

∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥとなる

この方法を使うと証明の穴埋め問題や通常の証明が分かりやすくなる

㋑　合同の証明では図の等しい辺、角にしるしをつけて

どの合同条件に当てはまるのか分かってから証明をする

㋒　合同の証明では３つの条件のうち２つの条件は分かりやすい

残りの1つの条件を見つけるためには合同条件から逆に見つける方法がある

（例）　対応する２つの角が等しいので合同条件

１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい、になる

そのためには対応する辺が等しいことがいえなければならない

辺が等しいことを証明するためには何が必要かを逆に考えていく

（４）　直角三角形の合同条件

① 斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい

② 斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい

直角に対する辺を斜辺という

㋐　直角三角形の合同条件を使う場合には

∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ＝９０°のように

三角形の１つの角が９０°であることを示す必要がある

㋑　直角三角形の合同を証明する場合は

はじめに直角と斜辺にしるしをつけてから考える

（５）　平行四辺形になるための条件

① ２組の対辺がそれぞれ平行である（定義）

② ２組の対辺がそれぞれ等しい

③ ２組の対角がそれぞれ等しい

④ ２つの対角線がそれぞれの中点で交わる

⑤ １組の対辺が平行で等しい

平行四辺形になることの証明には④⑤の条件を使った証明が多い

（６）　特別な平行四辺形

長方形、ひし形、正方形は平行四辺形の特別の場合で平行四辺形の性質をすべて持っている

① 長方形になるための条件

→　４つの角が等しい四角形

対角線の長さは等しい

②　ひし形になるための条件

→　４つの辺が等しい四角形

　　対角線は垂直に交わる

③　正方形になるための条件

→　４つの角が等しく、４つの辺が等しい

　　対角線の長さは等しく、垂直に交わる

平行四辺形→１つの角が９０°→長方形→となり合う辺が等しい→正方形

平行四辺形→対角線の長さが等しい→長方形→対角線が垂直に交わる→正方形

平行四辺形→となり合う辺が等しい→ひし形→１つの角が９０°→正方形

平行四辺形→対角線が垂直に交わる→ひし形→となり合う辺が等しい→正方形

2024/12/28

中２ 数学 図形・三角形・四角形の要点

中２　数学　図形・三角形・四角形の要点