Twitterで見つけた問題6-1
nCm=k2 を満たすn,m,k(n,m,k≧0の整数)について
m=2(もしくはm=n-2)の時、つまり
nC2=k2 を満たすようなnを全て求めよ
考察
nC2=n(n-1)/2=h(h+1)/2 … h=n-1(h≧3)と置く
これは1～h (= n-1)までの和の公式になっているので
平方数となる1～n-1の和を探せばよい
しかし、難解過ぎて自力で求めるのは諦め
平方数となる和
で検索して出てきたサイトを見ました
サイト
http://shochandas.xsrv.jp/relax/square3.htm
平方数となる和
難解なので完全なる理解は諦めて
式だけ使わせて頂きました
1～aの和が平方数となるaを小さい順に
並べた数列をanとし
a1 = 1
a2 = 8
an+2 = 6an+1 - an + 2
となるそうです
nから直接求める事ができる一般項
の公式も書いてありましたが
漸化式の方が計算が楽そうでしたので
こちらを使います
よって
a3 = 6･8 - 1 + 2 = 48+1 = 49
a4 = 6･49 - 8 + 2 = 294-6 = 288
…
nC2=k2となるnを小さい順にした数列をnnとすると
nn = an+1
nn = 6(nn-1 - 1) - (nn-2 - 1) + 2 + 1
より
nn = 6nn-1 - nn-2 - 2
n1 = 1+1 = 2
n2 = 8+1 = 9
n3 = 6･9-2-2 = 54-4 = 50
n4 = 6･50-9-2 = 300-11 = 289
…
と計算できる
2C2 = 2･1/2 = 1 = 12
9C2 = 9･8/2 = 36 = 62
50C2 = 50･49/2 = 1225 = 352
289C2 = 289･288/2 = 41616 = 2042
…
ちなみに
書いてあった一般項の式を使うと
an = -(1/2)+(1/4√2)(A+B)
A = (99√2 + 140)(3+2√2)n-3
B = (99√2 - 140)(3-2√2)n-3
(n≧3)
nn = an + 1
より
n1 = 2
n2 = 9
nn = (1/2)+(1/4√2)(A+B)
A = (99√2 + 140)(3+2√2)n-3
B = (99√2 - 140)(3-2√2)n-3
(n≧1でも計算できるようです)
となる