Twitterで見つけた問題を解いてみました
とりあえず解いて、検算していないので
またまた、ミスがいっぱいあるかもしれませんが
一応公開しておきます
変数値、関数値などの数値はすべて整数とする
f(a) = aを2で割切れて元の半分に出来る間割り
、それに割った回数を足す
(0は無限に割り切れてf(0)=∞となるのを防ぐ)
f(f(f(a)))+f(f(a))+f(a) = aとなるaを全て求めよ
例
f(12) = 3 + 2回 = 5
f(-8) = -1 + 3回 = 2
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答え
a = 0, 22, 26, 34 (合っているのかな?)
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解説
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f(0) = 0なので、a = 0の時
f(f(f(a)))+f(f(a))+f(a) = f(f(0))+f(0)+0 = 0
a = 0は解答の1つ
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以下a≠0とする
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aが奇数の時、2で割れないので
f(a) = a
f(f(a))+f(a)=2a≠aなので
aは偶数のみである
よって
a = 2nm (mは奇数、n≧1)と置く
m+nが奇数の時
f(a) = m+n
f(f(a)) = m+n
f(f(a))+f(a)=2(m+n)=2nmとなるには
m+nが奇数なのでこれ以上2で割れない
よってn=1となる
mは奇数なので,m+nは偶数となり
m+nが奇数と矛盾するので解なしなので
m+nが偶数(nが奇数)の時のみ調べればよい
よって
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a = 2nm (m,nは奇数、n≧1)となる
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a<0(m≦-1)の時を考える
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f(a) = m + n
f(a) > aを示す
m + n > 2nmについて
n = 1の時
m + 1 > 2m (0から-1減>-2から-2減)が成立つ
n = k≧1の時m + k > 2kmが成立つと仮定すると
n = k+1の時
m+k+1 - 2k+1m > 2km+1 - 2k+1m
= 2k(m-2m)+1 = -2km > 0 (m≦-1より)
よって
f(a) > a (a<0)
f(a) > a/4となるm,nの範囲を調べる
f(f(a)) > f(a), f(f(f(a))) > f(f(a))より
f(f(f(a))) + f(f(a)) + f(a) > aとなり
解なしとなるため
a<0(m≦-1)として
a/4 = 2n-2m、f(a) = m + n
a/4とf(a)の比較
n = 1の時
m/2 < m+1 (-1/2から-1減 < 0から-1減)
n = k≧1の時2k-2m < m + kが成立つと仮すると
n = k+1の時
m + k+1 - 2k-1m > 2k-2m + 1 - 2k-1m
= 2k-2(m-2m)+1 = -2k-2m + 1 > 0 (m≦-1より)
よって
f(a) > a/4 (a<0)なので
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a < 0 の時は解なし
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a>0(m≧1)の時を考える
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f(a) = m + n
f(a) ≦ aを示す
m + n ≦ 2nmについて
n = 1の時
m + 1 ≦ 2m (2から+1増≦2から+2増)が成立つ
n = 2の時
m + 2 ＜ 4m (3から+2増＜4から+4増)
n = k≧2の時m + k ＜ 2kmが成立つと仮定すると
n = k+1の時
2k+1m - (m+k+1) ＞ 2(m+k) - (m+k)-1
= m+k-1 > 0
よって
f(a) ≦ a (a>0)(n≧2の時等号無し)
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a = 2nm (m,nは奇数、n≧1)
f(a) ≦ a (a>0かつn＝1)
f(a) ＜ a (a>0かつn≧2)
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f(a) < a/4となるm,nの範囲を調べる
f(f(a)) ≦ f(a), f(f(f(a))) ≦ f(f(a))より
f(a) < a/4のとき
f(f(f(a))) + f(f(a)) + f(a) < aなので
解なしとなるため
a = 2nm (m,nは奇数、n≧1)なので
a/4 = 2n-2m、f(a) = m + n
a/4とf(a)の比較
n = 1の時
m/2 < m+1 (1/2から+1増 < 2から+1増)
n = 2の時
m < m+2 (あきらか)
n = 3の時
2m = m+3 (m＝1)(2<4)
2m = m+3 (m＝2)(4<5)
2m = m+3 (m＝3)(6=6)
2m > m+3 (m≧4)(8から+2増 > 5から+1増)
n = 4の時
4m < m+4 (m＝1)(4<5)
4m > m+4 (m≧2)(8から+2増 > 6から+1増)
n = 5の時
8m > m+4 (8から+8増 > 5から+1増)
n = k≧5の時2k-2m > m + kが成立つと仮すると
n = k+1の時
2k-1m - (m + k+1) > 2(m+k)-(m+k)-1
= m+k-1 > 0
よって
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a>0の時
a/4 > f(a)とならないのは
(m,nは奇数、n≧1)
n = 1
n = 3かつm = 1, 2, 3
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n = 3の時
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a = 2nm (m,nは奇数、n≧1)
f(a) = m + nより
m = 1の時
a = 23 = 8
f(8) = 1 + 3 = 4, f(4) = 1 + 2 = 3, f(3) = 3
f(f(f(a))) + f(f(a)) + f(a) = 3+3+4 = 10で不適
m = 2の時
a = 23･2 = 16
f(16) = 1 + 4 = 5, f(5) = 5, f(5) = 5
f(f(f(a))) + f(f(a)) + f(a) = 5+5+5 = 15で不適
m = 3の時
a = 23･3 = 24
f(24) = 3 + 3 = 6, f(6) = 4, f(4) = 3
f(f(f(a))) + f(f(a)) + f(a) = 3+4+6 = 13で不適
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n = 1の時(a>0,m≧1,mは奇数)
f(a) > a/4
f(a) ≦ a (a>0かつn＝1)
f(a) ＜ a (a>0かつn≧2)
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a = 2nm = 2m
f(a) = m + n = m + 1
f(f(f(a))) + f(f(a)) + f(a) = a
f(a) = m+1 = 2ik (k≧1は奇数,i≧1)と置くと
f(f(a)) = i + k
a = 2m = 2(2ik-1)
a - (f(f(f(a))) + f(f(a)) + f(a))
≧ a - (2f(f(a)) + f(a))
= 2(2ik-1) - (2i+2k + 2ik)
= 2･2ik - 2 - 2(i+k) - 2ik
= 2ik - 2i - 2k - 2
= (2i-2)k - 2i - 2 ≦ 0
k ≦ (i+1)/(2i-1-1)を満たすi,kを見つける
i = 1の時(k≧1は奇数)
k ≦ (i+1)/(2i-1-1) ≒ ∞
この場合、別の方法を考える
i = 2の時(k≧1は奇数)
k ≦ (i+1)/(2i-1-1) = 3
k = 1, 3となるので
a = 2(2ik-1) = 2(4-1) = 6
f(6) = 4, f(4) = 3, f(3) = 3
3 + 3 + 4 = 11 ≠ 6で不適
a = 2(2ik-1) = 2(12-1) = 22
f(22) = 12, f(12) = 5, f(5) = 5
5 + 5 + 12 = 22 = aで解
i = 3の時(k≧1は奇数)
k ≦ (i+1)/(2i-1-1) = 4/3
k = 1となるので
a = 2(2ik-1) = 2(8-1) = 14
f(14) = 8, f(8) = 4, f(4) = 3
3 + 4 + 8 = 15 ≠ 14で不適
i = 4の時(k≧1は奇数)
k ≦ (i+1)/(2i-1-1) = 5/7
i = 4以降
i+2 < 2i-1 (6から+1増 < 8から×2増)
i+1 < 2i-1-1
よって
i≧4の時k < 1となり解なし
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ここまでの解
a = 0, 22
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n = 1の時(a>0,m≧1,mは奇数)
f(a) > a/4
f(a) = m+n = m+1 = 2ik = 2k (k≧1は奇数,i=1)
f(f(a)) = i + k = k+1
a = 2nm = 2m = 2(2k-1)
f(f(f(a))) + f(f(a)) + f(a) = a
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f(f(a)) = k+1 = 2hj (j≧1は奇数,h≧1)と置くと
f(f(f(a))) = j+h
f(a) = 2k = 2(2hj-1)
a = 4k-2 = 4(2hj-1)-2
a - (f(f(f(a))) + f(f(a)) + f(a))
= 4(2hj-1)-2 - (j+h) - 2hj - 2(2hj-1)
= 4･2hj - 6 - j - h - 2hj - 2･2hj + 2
= 2hj - j - h - 4
= (2h -1)j - h - 4 = 0 を満たすj,hを見つける
j = (h+4)/(2h-1) (j≧1は奇数,h≧1)
h = 1の時j = (1+4)/(21-1) = 5
a = 4(2hj-1)-2 = 4(10-1)-2 = 36-2 = 34
f(34) = 18, f(18)= 10, f(10) = 6
6 + 10 + 18 = 34 = aで解
h = 2の時j = (2+4)/(22-1) = 6/3 = 2
jは奇数なので不適
(2hj = 22･2 = 23･1よりh=3,j=1の時と同じ)
h = 3の時j = (3+4)/(23-1) = 7/7 = 1
a = 4(2hj-1)-2 = 4(8-1)-2 = 28-2 = 26
f(26) = 14, f(14)= 8, f(8) = 4
4 + 8 + 14 = 26 = aで解
h = 4の時j = (4+4)/(24-1) = 8/15
h≧4の時
h+5 < 2h (9から+1増 < 16から×2増)
h+4 < 2h-1 なのでj < 1となり解なし
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答
a = 0, 22, 26, 34
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注
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m < m+1 (-1から-1減 < 0から-1減)は
mが負の時は最大値から1ずつ減るとどうなるかを
mが正の時は最小値から1ずつ増えるとどうなるかを
説明しています
数学的帰納法は宣言なしで使用しています
n=1証明、n=k時成立を仮定しn=k+1時を証明し
n=1～全てで成立つ事を示しています
的を絞るために色々と条件を絞っていますが
結果必要のない蛇足が含まれています
また証明不足や勘違いや
答えが間違っている可能性もあります
ので自己責任で読んでください
すごく無駄な事をしているのではないかと
思っています
もっと簡単な求め方があるのでしょうが
とりあえず無理やり求めて見ました