Twitterで見つけた問題を解いてみました
またまた、ミスがいっぱいあるかもしれません
変数値、関数値などの数値はすべて整数とする
f(a) = aを2で割切れて元の半分に出来る間割り
、それに割った回数を足す
(0は無限に割り切れてf(0)=∞となるのを防ぐ)
f(f(a))+f(a) = aとなるaを全て求めよ
例
f(12) = 3 + 2回 = 5
f(-8) = -1 + 3回 = 2
--------------------------------------------------
答え
a = 0, 10 (合っているのかな?)
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
解説
--------------------------------------------------
f(0) = 0なので、a = 0の時
f(f(a))+f(a) = f(0)+0 = 0 = a
a = 0は解答の1つ
--------------------------------------------------
以下a≠0とする
--------------------------------------------------
aが奇数の時、2で割れないので
f(a) = a
f(f(a))+f(a)=2a≠aなので
aは偶数のみである
よって
a = 2nm (mは奇数、n≧1)と置く
m+nが奇数の時
f(a) = m+n
f(f(a)) = m+n
f(f(a))+f(a)=2(m+n)=2nmとなるには
m+nが奇数なのでこれ以上2で割れない
よってn=1となる
mは奇数なので,m+nは偶数となり
m+nが奇数と矛盾するので解なしなので
m+nが偶数(nが奇数)の時のみ調べればよい
よって
--------------------------------------------------
a = 2nm (m,nは奇数、n≧1)となる
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
a<0(m≦-1)の時を考える
--------------------------------------------------
f(a) = m + n
f(a) > aを示す
m + n > 2nmについて
n = 1の時
m + 1 > 2m (0から-1減>-2から-2減)が成立つ
n = k≧1の時m + k > 2kmが成立つと仮定すると
n = k+1の時
m+k+1 - 2k+1m > 2km+1 - 2k+1m
= 2k(m-2m)+1 = -2km > 0 (m≦-1より)
よって
f(a) > a (a<0)
f(a) > a/2となるm,nの範囲を調べる
f(f(a)) > f(a)より
f(f(a)) + f(a) > aとなり
解なしとなるため
a<0(m≦-1)として
a/2 = 2n-1m、f(a) = m + n
a/2とf(a)の比較
n = 1の時
m < m+1 (-1から-1減 < 0から-1減)
n = k≧1の時2k-1m < m + kが成立つと仮すると
n = k+1の時
m + k+1 - 2km > 2k-1m + 1 - 2km
= 2k-1(m-2m)+1 = -2k-1m + 1 > 0 (m≦-1より)
よって
f(a) > a/2 (a<0)なので
--------------------------------------------------
a < 0 の時は解なし
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
a>0(m≧1)の時を考える
--------------------------------------------------
f(a) = m + n
f(a) ≦ aを示す
m + n ≦ 2nmについて
n = 1の時
m + 1 ≦ 2m (2から+1増≦2から+2増)が成立つ
n = 2の時
m + 2 ＜ 4m (3から+2増＜4から+4増)
n = k≧2の時m + k ＜ 2kmが成立つと仮定すると
n = k+1の時
2k+1m - (m+k+1) ＞ 2(m+k) - (m+k)-1
= m+k-1 > 0
よって
f(a) ≦ a (a>0)(n≧2の時等号無し)
--------------------------------------------------
a = 2nm (m,nは奇数、n≧1)
f(a) ≦ a (a>0かつn＝1)
f(a) ＜ a (a>0かつn≧2)
--------------------------------------------------
f(a) < a/2となるm,nの範囲を調べる
f(f(a)) ≦ f(a)より
f(a) < a/2のとき
f(f(a)) + f(a) < aなので
解なしとなるため
a = 2nm (m,nは奇数、n≧1)なので
a/2 = 2n-1m、f(a) = m + n
a/2とf(a)の比較
n = 1の時
m < m+1 (1から+1増 < 2から+1増)
n = 2の時
2m < m+2 (m＝1)(2<3)
2m = m+2 (m＝2)(4=4)
2m > m+2 (m≧3)(6から+2増 > 5から+1増)
n = 3の時
4m = m+3 (m＝1)(4=4)
4m > m+3 (m≧2)(8から+4増 > 5から+1増)
n = 4の時
8m > m+4 (8から+8増 > 5から+1増)
n = k≧4の時2k-1m > m + kが成立つと仮すると
n = k+1の時
2km - (m + k+1) > 2(m+k)-(m+k)-1
= m+k-1 > 0
よって
--------------------------------------------------
a>0の時
a/2 > f(a)とならないのは
(m,nは奇数、n≧1)
n = 1
n = 3かつm = 1
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
n = 3かつm = 1の時
--------------------------------------------------
a = 2nm (m,nは奇数、n≧1)
f(a) = m + nより
a = 23 = 8
f(a) = 1 + 3 = 4
f(4) = 1 + 2 = 3
f(f(a)) + f(a) = 7
で解なし
--------------------------------------------------
n = 1の時(a>0,m≧1,mは奇数)
f(a) > a/2
--------------------------------------------------
a = 2nm = 2m
f(a) = m + n = m + 1
f(f(a)) + f(a) = a
f(a) = m+1 = 2ik (k≧1は奇数,i≧1)と置くと
a = 2m = 2(2ik-1)
f(f(a)) = i + k
a - (f(f(a)) + f(a)) = 2(2ik-1) - (i+k + 2ik)
= 2･2ik - 2 - (i+k) - 2ik
= 2ik - i - k - 2
= (2i-1)k - i - 2 = 0
k = (i+2)/(2i-1)を満たすi,kを見つける
i = 1の時(k≧1は奇数)
k = (i+2)/(2i-1) = 3/1 = 3
a = 2(2ik-1) = 2(2･3-1) = 2･5 = 10
i = 2の時(k≧1は奇数)
k = (i+2)/(2i-1) = 4/3
i = 3の時(k≧1は奇数)
k = (i+2)/(2i-1) = 5/7
i = 3以降
i+3 < 2i (6から+1増 < 8から×2増)
i+2 < 2i-1
よって
i≧3の時k < 1となり解なし
--------------------------------------------------
答え
a = 0, 10
--------------------------------------------------
--------------------------------------------------
注
--------------------------------------------------
m < m+1 (-1から-1減 < 0から-1減)は
mが負の時は最大値から1ずつ減るとどうなるかを
mが正の時は最小値から1ずつ増えるとどうなるかを
説明しています
数学的帰納法は宣言なしで使用しています
n=1証明、n=k時成立を仮定しn=k+1時を証明し
n=1～全てで成立つ事を示しています
的を絞るために色々と条件を絞っていますが
結果必要のない蛇足が含まれています
また証明不足や勘違いや
答えが間違っている可能性もあります
ので自己責任で読んでください
すごく無駄な事をしているのではないかと
思っています
もっと簡単な求め方があるのでしょうが
とりあえず無理やり求めて見ました