結晶格子(8回目球の体積)

半径Rの球の体積Vを求める

図　z = rcosφ、d = rsinφ

点P(r, θ, φ)、原点O(0, 0, 0)とする

極座標は

動径(半径)方向をr

z軸回りのx軸方向からの角度をθ

z軸から線分OPまでの角度をφとする

直交座標P(x, y, z)との関係

点Pのx-y平面へ投影した点の原点からの

距離をdとするとd = rcosφより

x = dcosθ = rcosθsinφ

y = dsinθ = rsinθsinφ

P(x, y, z)

= P(rcosθsinφ, rsinθsinφ, rcosφ)

中心からr離れた微小片の体積dvを考えると

r方向の微小距離をdr

φ(ラジアン)方向の微小角dφ分の距離は

r･dφ(半径rの円弧長さ)

θ(ラジアン)方向の微小角dθ分の距離は

d･dθ = rsinφ･dθ(半径dの円弧長さ)となり

dv = r²sinφ･drdθdφ

V = ∫dv = ∫∫∫r²dsinφ･drdθdφ

(r = 0～R, θ=0～2π, φ=0～π)

= ∫∫[(r³/3)sinφ]dθdφ

= (R³/3)∫∫sinφ･dθdφ

= (R³/3)∫[θsinφ]dφ

= 2π(R³/3)∫sinφ･dφ

= 2π(R³/3)[-cosφ]

= 2π(R³/3){-(-1-1)}

= 4πR³/3

ちなみに

半径Rの円の面積Sは

中心から角θ方向に距離r離れた点Pと

中心から角θ+dθ方向に距離r+dr離れた点P'

の2点を対角線とする微小面積はrdθdrとなる

(角dθの半径rの円弧の長さはrdθ)

S = ∫∫rdθdr (θ=0～2π, r=0～R)

= ∫[rθ]dr = ∫2πrdr = 2π∫rdr

= 2π[r²/2] = π[r²] = πR²

ついでに、内接する円(球)と正方形(立方体)

に対する割合を表示しました

NL-BASICとnl30520.zip(cris008.bas)は

以下のリンクからダウンロードできます

NL-BASIC(N88-BASIC互換?)ホームページ

Readme.txtを読んで遊んで下さい

下記リストをマウスで選択しCtrl+cでコピーし、

NL-BASICの画面でAlt+v(Ctrl+vではないので注意)

でプログラムを読込めます。

cris008.bas

100 '----------------------------------------------------------------------
110 ' 結晶格子(8回目球の体積)
120 '
130 ' 2021.5 by ULproject for N88-BASIC, NL-BASIC
140 '----------------------------------------------------------------------
150 PI = ATN(1) * 4 '--- arctan(1) = π/4
160 INPUT "球の半径r = "; R
170 V = 4 * PI * R^3 / 3
180 PRINT "半径rの球の体積 = "; V
190 C = (2 * R)^3
200 P = V / C * 100
210 PRINT "内接する球の立方体に対する割合 = "; P; "(%)"
220 PRINT
230 S = PI * R^2
240 PRINT "半径rの円の面積 = "; S
250 B = (2 * R)^2
260 P = S / B * 100
270 PRINT "内接する円の正方形に対する割合 = "; P; "(%)"

結晶格子(8回目 球の体積)

結晶格子(8回目球の体積)