Lychrel数という数字について考えていたのですが、
さすがに、未解決問題だけのことはあって、どうもギブアップ状態です。
桁を前後で反転させた数字を作り、その数字との和を取ると、回文数が出来上がりそうなのです。
例えば、125なら、それに521を足すと747になって回文数になります。
1回でできなくても数回このプロセスを繰り返すと、回文数に戻りそうです。
例えば、567なら、1332、3663となって、2回目に回文数になります。
ところが、196という数字は、何回繰り返しても回文数に到達しないのではないかという予想ができています。
何回プロセスを繰り返しても回文数に到達しない数字をRychrel数と言うらしいのですが、
回文数にならないことを証明できないので、未解決問題となっています。
なお、最低でも1回はプロセスを行うという条件が付いており、
767だと1534、5885という変化で、回文数になります。
89だと187→968→1837→9218→17347→91718→173437→907808→1716517→8872688→17735476→85189247→159487405→664272356→1317544822→3602001953→7193004016→13297007933→47267087164→93445163438→17688131877→955594506548→1801200002107→8813200023188
というプロセスで回文数になります。
さて、
234のようにすべての数字が4以下でできていれば次は必ず回文数になります。
4以下でなくても237のように、繰り上がりが起こらなければ回文数になります。
一番上の桁と一番下の桁に着目して考えてみた時に、繰り上がりがあれば、1番上の桁は必ず1。
そうでなければ必ず上の桁の方が下の桁より1大きくなるということになり、
全部の組み合わせを考えなくても、巡回のGraphは描けるのですが、その中に上の桁と下の桁が一致するものが(0,0)以外の組み合わせはすべて登場します。
とくに(1,1)→(2,2)→(4,4)→(8,8)みたいな遷移の仕方が登場するので、単純な見方では解決しなさそうです。
また、時をおいて、機会があれば考えてみようと思う問題でした。