This elegant formula was proved by Euler in §178 of his Introductio in Analysin Infinitorum from 1748 and it certainly counts among his finest achievement.We can also write it even more elegantly as

but one has to note that the evaluation of the sum is a bit dangerous, since the sum is only conditionally convergent, so its value depends on the "right" order of summation.

We shall derive (1) by an argument of stunning simplicity which is attributed to Gustav Herglotz ― the "Herglotz trick." To get started, set

and let us try to derive enough common properties of these functions to see in the end that they must coinside...

(A) The functions f and g are defined for all non-integral values and are continuous there.

For the cotangent function , this is clear. For g(x), we first use the identity to rewrite Euler's formula as

Thus for (A) we have to prove that for every the series

converges uniformly in a neighborhood of x.

For this, we don't get any problem with the first term, for n = 1, or with the terms with 2n - 1 ≤ x² , since there is only a finite number of them. On the other hand, for n ≥ 2 and 2n - 1 > x², that is

n² - x² > (n - 1)² > 0, the summands are bounded by

and this bound is not only true for x itself, but also for values in a neighborhood of x. Finally the fact that converges provides the uniform convergence needed for the proof of (A).

(B) Both f and g are periodic of period 1, that is, f(x + 1) = f(x) and g(x + 1) = g(x)

hold for all .

Since the cotangent has period π, we find that f has period 1. For g we argue as follows. Let

then

Hence .

The function f obviously has this property, and for g we just have to observe that g_N(-x) = -g_N(x).

The final two facts constitute the Herglotz trick: First we show that f and g satisfy the same functional equation, and secondly that h:= f - g can be continuously extended to all of .

(D) The two functions f and g satisfy the same funcional equation: and .

For f(x) this results from the addition theorems for the sine and cosine functions:

The functional equation for g follows from

which in turn follows from

Now let us look at

We know by now that h is a continuous function on that satisfies the properties (B), (C), (D). What happens at the integal values? From the sine and cosine series ecpansions, or by applying de l'Hospital's rule twice, we find

and hence also

But since the last sum in (3) converges to 0 with x → 0, we have in fact , and thus by periodicity

In summary, we have shown the following:

(E) By setting h(x) := 0 for , h becomes a continuous function on all of that shares the properties given in (B), (C) and (D).

We are ready for the coup de grâce. Since h is a periodic continuous function, it prossesses a maximum m. Let x₀ be a point in [0,1] with h(x₀) = m. It follows from (D) that

and hence that . Iteration gives for all n, and hence h(0) = m by continuity. But h(0) = 0, and so m = 0, that is, h(x) ≤ 0 for all . As h(x) is an odd function, h(x) < 0 is impossible, hence h(x) = 0 for all , and Euler's theorem is proved.　□

出典:Martin Aigner and Günter M.Ziegler. Proofs from THE BOOK P169. Chapter 25

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訳と補足:

　この素晴らしい式は、1748年の無限可積分入門の§178でオイラーによって証明された、彼の確かで見事な業績の1つである。これは

のようにより良い形で書くことができる。しかし、この和の評価は、和の"右側"の値に依存して一様集束することに、わずかばかり注意しなければならない。

　グスタフ･ヘルグロッツによる、単純で優れた特性によって(1)式を得る。これを"ヘルグロッツトリック"と言う。初めに

と置く。これらの関数の共通の特性が一致しなければならないことを、最終的に確認するための導出をしよう。

(A) これらの関数fとgは非整数値で定義され、これらは連続である。

　cot関数の場合、は明らかである。g(x)の場合、まず恒等的にを用いて

のようなオイラーの公式に書き直す。従って、(A)によって、級数

は、ごとにxの近傍で一様収束することを示さなければならない。

　これより、n = 1または2n - 1 ≤ x²の項は有限個しかないので、1つ目の項では問題はない。一方、n ≥ 2かつ2n - 1 > x²ではn² - x² > (n - 1)² > 0であり、この和は

によって固定されており、この範囲はxにのみよるものだけではなく、またxの近傍の値による。最後に、が収束することは、(A)の証明によって、一様に収束する必要があることが得られる。

(B) fとgは共に、1つの周期で周期的で、全てのでf(x + 1) = f(x),g(x + 1) = g(x)である。

　cot関数は周期πを持つので、fは1つの周期を持つことがわかる。gについては以下に示す。

としよう。次に

これにより、となる。

　この関数fがこの特性を持つことは明らかで、gについてはg_N(-x) = -g_N(x)を調べなければならない。

　最後の2つがヘルグロッツトリックである。1つはfとgが同じ関数方程式を満たすことと、2つ目はh:= f - gが全てのに連続的に拡張できることを示す。

(D) fとgの2つの関数は同じ関数方程式、とを満たす。

　sinとcos関数の加法定理から

gによる関数方程式は

から、

に従う。ここで、

を見る。これから、で連続的な関数hが(B),(C),(D)の特性を満たすことがわかる。整数値ではどうなるか。sinとcosの級数を拡張するか、ロピタルの定理を2回用いると

が得られる。これにより

となる。最後の和はx → 0で0に集束するので、を得る。従って、周期的に

となる。すなわち、次の結果を得る。

(E) から、h(x) := 0とすることにより、(B),(C),(D)に従う特性を持つhは、全てので連続関数となる。

　最後の仕上げに備える。hは周期的連続関数であるので、これは最大値mを持つ。x₀を[0,1]でh(x₀) = mとなる点としよう。これは、(D)より

に従い、これよりである。全てのnで繰り返し、を与えると、これより連続性からh(0) = mを与える。しかし、h(0) = 0とm = 0、これらは全てのでh(x) ≤ 0である。h(x)は奇関数であるので、h(x) < 0は矛盾する。これより、全てのでh(x) = 0であり、オイラーの定理は示された。□

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　少々複雑な定義を含む言葉が随所に用いられていることが煩わしいが、スペースの都合により詳細は譲る。

　cot関数がある級数の形で表現されることを、主に解析学的な手法で、5つの特性を調べることによって示した。原書では、この形がどのような意味を持つかが続けて記されているが、ブログの仕様上、文字数の制限にかかってしまったため、次の項ζ(2k)=?へと続ける。

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