THEOREM 49. π and π² are irrational.

Suppose π² rational, so that π² = a/b, where a,b are positive integers. We write

so that G(0) and G(1) are integers. We have

Hence

an integer. But, by ^†(4.7.1),

for large enough n, a contradiction.　□

出典:G.H.Hardy and E.M.Wright. An Introduction to the Theory of Numbers P54. THEOREM 49.

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

訳と補足:

　まず初めに補足として、f(x)や式(4.7.1)について記すと、原典P53より

　nを正の整数として、f(x)を

とする。ここでc_mは整数である。0＜x＜1の範囲では^†

と書ける。これを踏まえた上で、次の補題を証明する。

補題:次の(*)がn→∞の極限において、0に集束する。

　ε-N論法より

を満たすNを考える。まず定義より

である。また

であるから、|a|より大きい自然数mをとると、nがmより大きいとき

と書ける。これより式(1)は

となる。ここで、特定のmについて考えると

であるから、任意の正実数εに対して、Nより大きい任意の自然数nについて

が成り立つものが存在する。よって、このようなnのうちmより大きいものには

が成り立つ。よって(*)は0に集束する。　□

これにより本題を示す。

定理49. πとπ² は無理数である。

　π²を有理数とし、π²＝a/bとおく。このとき、a,bは正の整数とする。ここで

とすると、G(0)とG(1)は整数である。よって

を得る。

これより

これは整数である。しかし、式(4.7.1)と(*)より、nが十分大きい場合は

となり矛盾する。　□

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

　円周率πが無理数であることを示した。この証明の本筋は背理法であるため、初めにπが有理数であると仮定して、それが矛盾すると示したことで証明している。本筋としては非常にシンプルで、計算自体も簡単に求められるものである。また、三角関数を用いているところなど、πの証明としては直観的に理解しやすい。

　原典にはなかったが、自明ではないと判断して、補題としてε-N論法からa_nが0に集束することを示した。これは初等的には、はさみうちの原理から証明することもできる。

5,406円

Amazon

πの無理性の証明