自然数で作る三平方の定理には４の倍数が不可欠

「必ず４の倍数を使う」ことを証明する為
互素な自然数だけの三平方の定理 sq(C)=sq(A)+sq(B) のみ考える

ここで
A,B の偶数奇数の組合せで場合分けする

sq(2a)+sq(2b) に当たり、偶・偶数の場合：互素にならない為無意味。予め全てを2で割っておくべき

sq(2a-1)+sq(2b-1) に当たり、奇・奇数の場合：あり得ない。何故なら…
これを展開して括り直せば 4(sq(a)-a+sq(b)-b)+2 になるので
偶数なのに4の倍数でない数である為
奇数の自乗にも偶数の自乗にも登場しないからそんな自然数Cなどないから。

よって残るケース
一方が偶数、他方が奇数の自乗の組合せ、偶・奇数の場合に限られる

偶数に奇数を足すので結果は奇数
つまりCは奇数なので A=2a, B=2b-1, C=2c-1 と書き換える
つまり sq(2a)+sq(2b-1) = sq(2c-1) になるのを式変形すれば
4sq(a) = (2c-2b)(2c+2b-2)
⇔ sq(a) = (c-b)(c+b-1)
になる
(c-b)(c+b-1) は奇数項と偶数項の掛け算なので偶数
よって sq(a) は偶数と判明し
a は偶数である
よって2aであるAは４の倍数である

なお三平方の定理には自然数で成り立つ有名な実例があるので空論でない

三平方の定理を互素な自然数だけで作ると
4の倍数の自乗に奇数の自乗を足した結果が別の奇数の自乗になると証明された（証明終了）