統計ソフトRの非線形回帰分析の関数nls=Nonlinear Least Squaresを使って後半3ハロンの限界曲線を数学的に描き出してみる。
１）コース別のデータをまずプロットする。
２）次に、後半3ハロンの最小値のラインから左だけを抽出
グラフの右側を使わない理由：前半タイムが遅いのに後半3ハロンも遅いレベルの低いデータだから限界ライン作成には使わない。
３）さらに前半タイム0.1秒ごとに後半3ハロンの最速タイムのデータだけを抽出。
理由：前半タイム0.1秒ごとの限界タイムを絞り込む。
このデータを使ってnls関数で限界ライン漸近指数モデル Y=a*b^X+cの式を求める。
===============================================
Y=a*b^X+c Xは前半タイム Yは後半3ハロンタイム
Asym R0 Ircは漸近線の係数のための数値でa,b,cは以下の式で計算される。
a=R0-Asym
b=exp(-exp(Irc))
c=Asym
================================================
４）以下統計ソフトRの計算過程を抜粋 dataは"gen"に格納
Xは前半タイム Yは後半3ハロンタイム Asym,R0,Ircは初期設定しなくても自動的に計算してくれる
結果をresultに格納
result<-nls(Y~SSasymp(X,Asym,R0,Irc),data=gen),silent=TRUE)
５）さらに結果のsummaryをsresultに格納
sresult<-summary(result)
> sresult
Formula: last3F ~ SSasymp(former, Asym, R0, Irc)
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
Asym 3.283e+02 1.091e+00 301.012 <2e-16 ***
R0 3.109e+20 1.398e+21 0.222 0.825
Irc -2.558e+00 1.033e-01 -24.753 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 3.396 on 49 degrees of freedom
Number of iterations to convergence: 0
Achieved convergence tolerance: 2.407e-06
６）パラメータだけを抽出
> sresult$parameters
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
Asym 3.282526e+02 1.090495e+00 301.0124061 1.018956e-81
R0 3.108526e+20 1.398068e+21 0.2223443 8.249700e-01
Irc -2.557470e+00 1.033185e-01 -24.7532716 2.365194e-29
7)パラメータを使って式Y=a*b^X+c を計算して赤い線で漸近線を描き出すことに成功
a=R0-Asym
b=exp(-exp(Irc))
c=Asym の計算
a<-sresult$parameters[2,1]-sresult$parameters[1,1]
b<-exp(-exp(sresult$parameters[3,1]))
c<-sresult$parameters[1,1]
par(new=T)
lines(X,a*(b^X)+c,col="red")
そして出来たグラフがこれだ！
この限界ラインとｙ＝－ｘ＋cが接する時のｃが最小になる最適ポイントを計算するとコース別の最適なペース配分を計算できそう。もうすこし研究が必要ですね。
１）コース別のデータをまずプロットする。
２）次に、後半3ハロンの最小値のラインから左だけを抽出
グラフの右側を使わない理由：前半タイムが遅いのに後半3ハロンも遅いレベルの低いデータだから限界ライン作成には使わない。
３）さらに前半タイム0.1秒ごとに後半3ハロンの最速タイムのデータだけを抽出。
理由：前半タイム0.1秒ごとの限界タイムを絞り込む。
このデータを使ってnls関数で限界ライン漸近指数モデル Y=a*b^X+cの式を求める。
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Y=a*b^X+c Xは前半タイム Yは後半3ハロンタイム
Asym R0 Ircは漸近線の係数のための数値でa,b,cは以下の式で計算される。
a=R0-Asym
b=exp(-exp(Irc))
c=Asym
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４）以下統計ソフトRの計算過程を抜粋 dataは"gen"に格納
Xは前半タイム Yは後半3ハロンタイム Asym,R0,Ircは初期設定しなくても自動的に計算してくれる
結果をresultに格納
result<-nls(Y~SSasymp(X,Asym,R0,Irc),data=gen),silent=TRUE)
５）さらに結果のsummaryをsresultに格納
sresult<-summary(result)
> sresult
Formula: last3F ~ SSasymp(former, Asym, R0, Irc)
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
Asym 3.283e+02 1.091e+00 301.012 <2e-16 ***
R0 3.109e+20 1.398e+21 0.222 0.825
Irc -2.558e+00 1.033e-01 -24.753 <2e-16 ***
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Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 3.396 on 49 degrees of freedom
Number of iterations to convergence: 0
Achieved convergence tolerance: 2.407e-06
６）パラメータだけを抽出
> sresult$parameters
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
Asym 3.282526e+02 1.090495e+00 301.0124061 1.018956e-81
R0 3.108526e+20 1.398068e+21 0.2223443 8.249700e-01
Irc -2.557470e+00 1.033185e-01 -24.7532716 2.365194e-29
7)パラメータを使って式Y=a*b^X+c を計算して赤い線で漸近線を描き出すことに成功
a=R0-Asym
b=exp(-exp(Irc))
c=Asym の計算
a<-sresult$parameters[2,1]-sresult$parameters[1,1]
b<-exp(-exp(sresult$parameters[3,1]))
c<-sresult$parameters[1,1]
par(new=T)
lines(X,a*(b^X)+c,col="red")
そして出来たグラフがこれだ！
この限界ラインとｙ＝－ｘ＋cが接する時のｃが最小になる最適ポイントを計算するとコース別の最適なペース配分を計算できそう。もうすこし研究が必要ですね。