いきなり難しそうなやつです。
2次関数については他の参考書とかで見といて下さい。
今回は、2次関数のうち、ⅹ軸が移動する優柔不断なときの最大値、最小値の解法について書きます。
んじゃ例題。
・ｙ=2x②－4ax (0≦x≦2)
言い忘れていましたが、ブログ上でべき乗を表すのは難しいので、②や、③というように表すことにします。
例、2の二乗→2② 4の五乗→4⑤
ここで、与式をｆ(x)と表すことにします。
まず、式を平方完成しましょう。
すると、y=2(x-a)②-2a② となります。
ということは、この関数のx軸は、
x=a
ということになります。
それでは、それぞれの場合分けをしてみましょー
ⅱは0≦a＜1(1は、0と2の間なので)
ⅲは1＜a≦2
ⅳは2＜a
のときとします。
ちなみに、このときの不等号のイコールですが、
どちらかによせればOKです！
(たとえば、ⅰをa≦0、 ⅱを0＜a＜1としても良いわけです。)
それではまずⅰから書いていきましょう
まず、最小値ですが、一見すると、
「あれ？ aのとこがとんがってるからそこが一番ちいせぇんじゃね？」とおもいますが、
ここでは、0から2の間なので、aは入りません。
だとすると、一番小さいのは、aに近い0である事が分かります。
つーことで最小値は、
ｆ(0)=0
同じく、最大値はaから一番離れている2ということになります。
よって、
ｆ(2)=8-8a
次はⅱです。
「え？ なんでⅱとⅲに分けんの？ ひとつにすればいいじゃん。」
いやいやいやいやいや、よーく考えて下さい。
a=1だったらどうしますか？ そう、0と2との距離が等しくなりますね?
それでは、それより左に動くとどうなるでしょう？ 2が大きくなりますね？
つまり、半分(ここでは1)こえるか超えないかで最大値は変わるんです!
最小値は変わりませんけどね。
てなわけでⅱの最小値は
f(a)=2a②-4a②=-2a②
最大値は
f(2)=8-8a
ⅲの最小値は
f(a)=-2a②
最大値は
f(0)=0
最後に、ⅳの最小値は
f(2)=8-8a
最大値は
f(0)=0
それでは整理してみましょう。
まず最小値は、
a＜0の時 ｆ(0)=0
0≦a＜2の時 f(a)=-2a②
2＜aの時 f(2)=8-8a
このとき、0≦a＜1の時も1≦a＜2の時も最小値は同じなので、まとめました。
次は最大値です。
a＜0の時 ｆ(2)=8-8a
0≦a＜1の時 ｆ(2)=8-8a
1≦a＜2の時 f(0)=0
2＜aの時 f(0)=0
これでも答えにはなりますが、もっと細かく書くと、
a=1の時 f(0)=ｆ(2)=0
と書いておけばバッチシです！
これで軸の動く2次関数は完璧･･･のはず。
なにか間違えているところが御座いましたらコメント欄からどうぞ
はじめまして、KENです。
このブログは、プライベートとは別に、勉強の解き方とかに着いて書いていくつもりです。
理由は、「人に教えると自分の理解が深まる」と先生に言われたんで実践して見ることにしました。
それでは次回からはガンガン書いていこうと思います。