等比数列、高校数学で習う単元の1つです。
一応まじめに解説したいと思います。
なぜ等比数列からなのでしょう、そんなことを考えている暇があったら勉強しなさい。
①等比数列とはなんぞや？
そもそも等比数列ってなんでしょう。
例えば、こちら
1 9 5 3 8 2 4
これ、特に規則性はなさそうですね。
いや、東大生なんかに見せると何かあるかもしれませんが、我々凡人には到底理解できません。
では続いて、こちら
2 4 8 16 32 64 128
これ、さっきと比べればなにかありそうですよね。
そうです。左の数字を2倍すれば、1つ右の数字になるのです。
我々凡人にも理解できます。
これが、等比数列というものです。
最初の数 (今なら2) に一定の数 (今なら2) をかけると隣の数になります。
等比数列とは、このような規則に基づいて、数字を並べたものです。
例えば、以下のようなものも等比数列です。
1 3 9 27 81 … (×3)
1 1 1 1 1 … (×1)
1296 0 0 0 … (×0)
このような数列において、
それぞれの数字 → 項
かける数 → 公比
といい、2番目の項なら第2項 といい a2 と表し、3番目の項なら第3項 といい a3 と表します。
特に、第1項 (a1) のことを 初項 といいます。
初めの項、初めての項のことですね。
しかも読みは しょこう です。
少しエロい響きですね。
第何項かわからない、とりあえず第n項にしとこう、ってときは anと表しますし、
その1つ右の項を表したいときは an+1 と表します。
ちなみに、公比のことは r と表します。
ここまでくると、
an+1 ＝ an × r
が成り立つことはすぐにわかると思います。
第何項であれ、公比を１回かければ、1つ右隣の項になる、という式です。
また、例えば、
1 10 100 1000 10000 …
という等比数列があるとすると、
初項 a1 ＝ 1
公比 r ＝ 10
第3項 a3 ＝ 100
となりますし、
第8項 a8 ＝ 10000000
となるでしょう。
②一般項とはなんぞや？
数学ってのは、沼に指先を少し入れただけなのに、すぐに引きずり込もうと様々な知識をぶつけてきます。
タチの悪いオタクみたいなものです。
仕方ないので最後まで付き合ってあげましょう。
次に出てくるのは、『一般項』という言葉です。
一般項とは、
その数列でのみ使える公式
と思って頂けるといいと思います。
y ＝ 2x ＋ 1 であれば、xに値を代入すればyが求まったように、
第何項か を代入すれば、その項の数字が何であるか、求めることができます。
では、一般項の公式を出していきましょう。
初項を a、公比を r とすると、
a1 ＝ a
a2 ＝ a1 × r ＝ a × r
a3 ＝ a2 × r ＝ a × r^2 (rの二乗)
a4 ＝ a3 × r ＝ a × r^3 (rの三乗)
……
どうでしょう。規則は見えたでしょうか。
そう、初項に、公比を、項数より１回少なくかけているだけなのです。
これを文字に表すと、以下のようになります。
an ＝ a × r^(n-1)
この式に、初項、項比を当てはめることで、
第1000項だろうが、第1000000項だろうが、
どれだけ右の数字もすぐに求めることができます。
お好きな等比数列の、お好きな項を計算し、
明日も素敵な等比LIFEをお過ごし下さい。
③等比数列の和とはなんぞや？
よくぞこんな記事をここまで読んで下さいました。
今回の最終章です。
涙無しでは語れない結末を、ぜひともその目で。
では説明に入ります。
ここまで、等比数列について説明してきました。
2 4 8 16 32 64 128 …
ここで昔の偉い人は考えました。
｢せっかく数字が並んでる。
…足してまおうぜ。｣
本当に昔の人というのは余計なことを考えてくれるものです。
仕方ない、尻拭いとして覚えましょう。
2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + …
これが 等比数列の和 です。
本当にめんどくさい負の遺産を残してくれたものです。
仕方ないので、公式を求めていきましょう。
初項をa、公比をrとします。
第n項までの和を求めてみます。
まず、和をsnとすると、
sn ＝ a + ar + ar^2 + … + ar^(n-1)
ここで、両辺にrをかけてみます。
rsn ＝ ar + ar^2 + … + ar^(n-1) + ar^n
おや…？
タマゴのようすが…！
嘘です。
しかし見てください、これ、上の式から下の式を引くと…！？
sn － rsn ＝ a － ar^n
なんとびっくり。
真ん中の部分は全て同じ数だったので、引いたら0になってしまいました。
しかし最大のチャンス。
ここから感動のクライマックスです。
snを求めたいので、snでくくります。
(1 － r)Sn ＝ a(1 － r^n)
sn ＝ a(1 － r^n) / (1 － r)
ちなみに、これ 1－r が分母にあるので、r ＝1 のときは使えません。(÷0できないから)
しかしご安心を。
r ＝ 1 つまり、数列は a a a a a …
つまり、第n項まで足すってことは
n回 a を足す
ってことと一緒なのです。
つまり、r ＝ 1 のとき、
sn ＝ na
以上が、等比数列の和の公式です。
非常に感動的なクライマックスでしたね。
きっと全米が涙することでしょう。
④公式のまとめ
an+1 ＝ an × r
an ＝ a × r^(n-1)
(r ＝ 1以外) sn ＝ a(1 － r^n) / (1 － r)
(r ＝ 1) sn ＝ na
⑤最後まで読んでくださった方へ
こんな記事を最後までわざわざ読んで頂いてありがとうございます…
これは、とある大学生が夜のテンションで、1時間で書き上げた記事になります。
意外としんどかったので、次回以降があるかどうかは私にもわかりません。
とりあえずネタがある間は暇な時に書こうかとは思っていますので、よろしければ次回からもご覧下さい…