2021/10/15 問題がもりだくさんで、何を求めるのか、わからなくなりそうです。
2022/10/09 問題部の欠落を補充しました．文章の一部を修正しました．
[1]（標準）[2]（やや易）[3](ⅰ)（標準）(ⅱ)（やや易）(ⅲ)（標準）
2023/08/25 グラフと増減表を付記しました．文章を補足しました．
[1] f '(t)＝1なら，原始関数は ｔ＋定数 で，当たり前のような気がしますが、
「平均値の定理を用いて」という条件がついています。
導関数がすべてのｔで与えられているので，微分可能、連続であるとすると，
平均値の定理から，
ｔ＜0の場合は ｔ＜s＜0とすればよい。
高校のカリキュラムは、数Ⅱで導関数，不定積分、原始関数がでて
きて，数Ⅲで平均値の定理なので、
不定積分すればいいのでは？
という感覚になりますが、
通常の微積のテキストは、微分可能、導関数の定義から，定理として
平均値の定理がでてきて，別節で，連続関数の定積分の定義、不定積分，
導関数と不定積分の関係，原始関数の定義と進むので，積分を経由せずに
示すこともできることになっています。
[2] これは t について2次式で，g（0）＝0，g'(0)＝k，g''（t)＝－aの条件を
みたすように決めればよいでしょう。
[3] C’は，x＝t，y＝g(t)より，2次関数
になります。（x≧0）
(ⅰ)
ＣとＣ’の交点の x 座標が満たす2次方程式の判別式が0になることと，交点の x 座標≧0から，
ｋの範囲が決まりますが，文字 a を含んでいるので注意が必要です。
a≠2のとき，判別式0より，
このとき，接点のx座標は正だから，2 次方程式の重解を求めると，
a＝2のときは，CとC’の交点は1つですが，接することはないので
不適になります。
(ⅱ) y＝g(t)＝0より，
(ⅲ) 微分して増減を調べます。
したがって，
1＜k＜3 で h(k) は増加
k＝3で h(k) は極大（かつ最大）値 2
3＜ｋで h(k) は減少（0に漸近）
＊）答案では，時間の許す限り，増減表は書きましょう．