2021/10/11【2000-4】 です。  

 正確な計算力、手際のよい処理というこの当時の札医によくみられる出題です。

 

2022/10/08 文章の一部を修正しました.

      [1](やや易)[2](ⅰ)(やや易)(ⅱ)(標準)(ⅲ)(やや易)

 

2023/08/27 [2](ⅲ) 図と式を差し替えました.

 

 

 

 

[1] 接線の方程式をxを用いて表すと,文字がこんがらがるので,

 接点を(t,f(t))として,g(t)を計算することにします。

 

      

 

  よって,

  

 

 

[2] (ⅰ) f '(x),f ''(x),g '(x)を計算して,増減を調べます。

     

       

       

 

 よって,g(x)の増減は,

 したがって,

                 

 

(ⅱ) y=f(x)の変曲点が接点になっているので,グラフの概形を調べると交点が

  1つ(接点)しかないことは、すぐわかります。lxoは,

 

      

 

  よって,

            

 

 とおいて,h(x)=0となるxが1つしかないことを示せばよいことになります。

  ここで,

 

     

      

 

 h(x)の増減表は,

 のようになります。

 

  したがって,h(x)=0となる x は x=2/a(x0) のみであり,

 

     「直線 lx と 曲線C は(x0,f(x0))以外に共有点を持たない」

 

 ことがわかります.

 

(ⅲ) グラフの概形は,

            

 より,

 

  

 

 だから,求める面積は,

 

 

 

 

 *) xe^(x) の形の積分は,早業を覚えておいたほうがよいでしょう。

   (瞬間積分とか、まびびび積分とか呼ばれいるテクニックです)