2021/10/11【2000-4】 です。
正確な計算力、手際のよい処理というこの当時の札医によくみられる出題です。
2022/10/08 文章の一部を修正しました.
[1](やや易)[2](ⅰ)(やや易)(ⅱ)(標準)(ⅲ)(やや易)
2023/08/27 [2](ⅲ) 図と式を差し替えました.
[1] 接線の方程式をxを用いて表すと,文字がこんがらがるので,
接点を(t,f(t))として,g(t)を計算することにします。
よって,
[2] (ⅰ) f '(x),f ''(x),g '(x)を計算して,増減を調べます。
よって,g(x)の増減は,
したがって,
(ⅱ) y=f(x)の変曲点が接点になっているので,グラフの概形を調べると交点が
1つ(接点)しかないことは、すぐわかります。lxoは,
よって,
とおいて,h(x)=0となるxが1つしかないことを示せばよいことになります。
ここで,
h(x)の増減表は,
のようになります。
したがって,h(x)=0となる x は x=2/a(x0) のみであり,
「直線 lx と 曲線C は(x0,f(x0))以外に共有点を持たない」
ことがわかります.
(ⅲ) グラフの概形は,
より,
だから,求める面積は,
*) xe^(x) の形の積分は,早業を覚えておいたほうがよいでしょう。
(瞬間積分とか、まびびび積分とか呼ばれいるテクニックです)