札幌医科数学　2000第4問 | 大学受験in北海道

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札幌医科数学　2000第4問

2021/10/11【2000－4】　です。　　

　正確な計算力、手際のよい処理というこの当時の札医によくみられる出題です。

2022/10/08　文章の一部を修正しました．

　　　　　　[1]（やや易）[2](ⅰ)（やや易）(ⅱ)（標準）(ⅲ)（やや易）

2023/08/27　[2](ⅲ) 図と式を差し替えました．

[1]　接線の方程式をxを用いて表すと，文字がこんがらがるので，

　接点を（t，f(t))として，g(t)を計算することにします。

　　　　 $l_x : y=f'(t)(x-t)+f(t) \quad\to\quad g(t)=-tf'(t)+f(t)$

　よって，

　　

[2]　(ⅰ)　f '(x),f ''(x),g '(x)を計算して，増減を調べます。

　　　　　

　　　　　　　 $f'(x)=(1-ax)e^{-ax} \quad,\quad f''(x)=a(ax-2)e^{-ax}$

　　　　　　　 $g'(x)=-ax(ax-2)e^{-ax}$

　よって，g(x)の増減は，

　したがって，

　　　　　　　　　　　　　　　　　 $x_0=\frac{2}{a}$

(ⅱ)　y＝f(x)の変曲点が接点になっているので，グラフの概形を調べると交点が

　　１つ（接点）しかないことは、すぐわかります。lxoは，

　　 $l_{x_0}=-\frac{1}{e^2}x+\frac{4}{ae^2}$ ．

　　よって，

　　　　　　　　　　　　 $h(x)=xe^{-ax}+\frac{1}{e^2}x-\frac{4}{ae^2}$

　とおいて，h(x）＝0となるxが1つしかないことを示せばよいことになります。

　　ここで，

　　　　　 $h'(x)=e^{-ax}-axe^{-ax}+\frac{1}{e^2}\quad,\quad h''(x)=a(ax-2)e^{-ax}$

　　　 $\lim_{x\rightarrow -\infty}h(x)=-\infty \quad,\quad \lim_{x\rightarrow \infty}h(x)=\infty$

　h(x)の増減表は，

　のようになります。

　　したがって，h(x)＝0となる x は x＝2/a（x0) のみであり，

　　　　　「直線 lx と曲線Ｃは(x0，f(x0))以外に共有点を持たない」

　ことがわかります．

(ⅲ)　グラフの概形は，

　　　　　　　　　 $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty \quad,\quad \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0$

　より，

　

　　

　だから，求める面積は，

　 $\int_0^{\frac{2}{a}}(-\frac{1}{e^2}x+\frac{4}{ae^2}-xe^{-ax})dx=\big[-\frac{1}{2e^2}x^2+\frac{4}{ae^2}x+\frac{1}{a}xe^{-ax}+\frac{1}{a^2}e^{-ax} \big]_0^{\frac{2}{a}}$

　 $=\frac{9}{a^2e^2}-\frac{1}{a^2}$

＊）　xe^(x)　の形の積分は，早業を覚えておいたほうがよいでしょう。

　　　（瞬間積分とか、まびびび積分とか呼ばれいるテクニックです）