ブログ初めての企画として「物理を趣味にしてみた」の様子をお伝えしていきたいと思います。
とはいえ知っている知識は高校レベルですから、まずは数百年前に確立した古典力学を地道にたどっていきますが、益川敏英さん監修の『力学』とランダウさんの『力学』を道しるべとしていきます。
では早速運動方程式とラグランジアンから考えていきます。
運動の３法則
ニュートン力学の基本法則は
第一法則：慣性の法則
何も力を受けない物質は速度が一定だよねぇ、ということです
第二法則：運動の法則
これが有名なF＝Maですね
第三法則：作用反作用の法則
壁を押したら押し返されるよぉということです。
あるいは物体の相互作用の力は大きさ同じで逆向きといえます
まあこんぐらいは僕にもわかります（わかるというか知ってるだけですが）
さらにこのうち運動の法則はラグランジアンという量で定められた作用という量を
最小にする経路を質点が動くとして導けます。
ラグランジアン
力学系を
L（q,q’,ｔ） （ｑ…質点の座標を表す成分の組（q₁,₂,，、、、、）
/q’…ｑの時間微分、質点の速度の各成分/ｔ…時間）
という量で表現します。これがラグランジアンです
時間の関数の座標のそれまた関数でありますからこれは凡関数となりますね。
質点の座標の始点と終点を定めたとき、Lで定まる作用という量が最小となる経路が実際の現実世界において実現しうる質点の運動となるというのです。
ラグランジュ方程式
まずは作用を最小にするときのラグランジアンLについて成り立つ式を求めてみます。
状況を図にすると下です
q(t)が定まれば運動が決まるので、上の曲線は運動を表しています。
空想的に(物理現象としての適合性を無視して)考えられる運動を「動き方n (n=1,2,3,,,,,)」としました。(じっさいは番号を振って数えることはできませんが便宜上)
そのうち
で定義した作用Sを最小とするラグランジアンの条件を考えます。
上図はテキトーなグラフ(なめらか)の最小を実現する点の非常に近い近傍では
そのグラフの変位が0であることを指しています。数学的な証明は省くとして(自分の勉強不足もある)今回もこれを用いると、
作用が最小となるqから微小変位させたq＋δqにおける作用をS＋δSとして
δS＝0
とできるから
となる(手書きですみません)
任意のδqで(ただし十分に小さい)最後の式が成立するには、積分の中身が常に0であればよく、
が成り立つことになります。
これは自由度が1の時を考えていますが、2以上のときは一次の微小項までのテイラー展開の項数が増えるだけで基本的に同じこととなり、
となります。
これをラグランジュ方程式と言います。速度と位置と加速度の関係式ですね。
以上でL(ラグランジアン)の条件がわかったわけですが、これまでラグランジアンの具体的な正体にはノータッチでありました。よってこのラグランジュ方程式は一般の凡関数に対して言うことができるのです。
次にこれの正体を考えていきます。
ラグランジアンの正体
ラグランジアンは運動状態を示すものである必要があるわけですが、いきなり一般のケースを考えるのはしんどいですから、一つの質点の独立系における運動の場合で考えます
《単一粒子の独立系でのラグランジアン》
ラグランジアンについての要求は
⑴時間も空間も一様ですから、(場所に特別な意味や特徴はなく、広大な砂漠のように質点の位置が変わっても他の物体がなければ気づかれないというようなニュアンス)運動を特徴づけるのは速度だけです。
⑵さらに空間は等方(方向が全て同等ということ。近くに何もない宇宙のようなイメージ)ですから速度の大きさだけの関数です。そこで
L＝L(v2)
とします。
⑶3つ目の要求として、ラグランジュ方程式がガリレイ変換に置いて変化しないことが挙げられます。たしかにニュートンの運動方程式はガリレイ変換において変化しませんね。
ちなみにガリレイ変換は加速度運動しない系(慣性系)の間の速度変換速で、速度の足し合わせのことです。これが相対論的効果を考えると成立しないというのは有名な話ですが、ほとんど無知なので勉強したら記事にしたいものです。
そのためには下のラグランジュ方程式の特性を用います。
このことから
という二つのラグランジアンは同じ運動を表すとわかります。
これを用いてK系とそれに対して速度Ｖ(const.)で動くK‘系でのラグランジアンが同じ運動を表すための条件を考えていきます。
K系で速度vでラグランジアンLの質点はK’系ではv‘でラグランジアンL‘だったとしてガリレイ変換は
v＝v’＋V
よってラグランジアンL、L‘については上のオレンジで囲った関係にあればよく、
そのためには
L＝av2
となっていれば良い。確かめてみると、
となっている。
最後にaの値だが、これは作用が最小値を持つために正の値でなくてはならない。
(負ならvをありったけ大きくして作用を際限なく小さくできてしまう)
そこで正の数として
a=m/2
を採用する。以上でラグランジアンが定まった。
つまり、
L＝(m/2)v^2
である。
《多数の粒子が相互作用しないケース》
粒子1、粒子2、、、、、、粒子N
があったとして、それぞれのラグランジアンは《独立系での1粒子のラグランジアン》
のケースと変わらないから、
Lk＝(mk/2)vk^2 (k＝1、2、、、、N)
そこでこの系のラグランジアンをLとしてLをこれらの和としてみると、下のようになり適しているとわかる。
最後に、
《相互作用もあるケース》
相互作用は一瞬で伝わると古典力学では考えてよくて、つまり相互作用の伝搬に時間は関わらないから、ラグランジアンに含まれる相互作用についての項は座標のみの関数。
故に結局、多数の粒子が独立系に存在して、それらの間に相互作用があったときのラグランジアンは、
であります。
以上でラグランジアンが定まったのですが、
今のところU(r1、r2、r3、、、rN)の正体が不明です。
これは次回考えることとします。
かなりまとまりのない文章になってしまいましたが、読んでいただきありがとうございます。自分はただ、物理の初学者であり去年度まで高校物理に苦戦していた身分でありますから、至らない部分やわかりずらいところ、さらには間違っている部分もあるかと思います。今後の勉強で気づいた点は随時訂正いたしますので暖かい目で見ていただければ幸いです。
また、この記事の前半部分はpcに合わせた形になっていたことに気がつかず、スマホ表示では見づらい形になっております。直せば良いだけの話ですが、今の著者にはその力が残っておりません。いつか直す予定であります。