純粋な数学の台頭

纯粹数学的兴起

2017-12-26 15:18科学/物理

微积分的发明带来许多成功应用，但其不足之处也招致许多批评。19世纪一些数学家对这些问题的处理导致纯粹数学的产生与发展，时至今日，纯粹数学已成为数学的主流。

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理解任何一门学问，不仅应该知道它属于哪个领域，还要晓得它同这个领域其他学科有什么不同[1]。以数学而论，它被公认是门科学，可是它和典型的自然科学——物理学是否一回事呢？其实，这是个哲学问题，有不同观点是很自然的[2]。19世纪很多数学家认为数学和物理没什么区别，甚至到20世纪，许多大数学家，例如荣获菲尔兹奖和沃尔夫数学奖的小平邦彦以及今年（2015年）获得数学最高奖阿贝尔奖的尼伦伯格（L.Nirenberg，1925—　）都是这么想的。但是，许多数学家认为两者有很大差别，不妨举出其中三点。

（1）物理研究的是客观的物质世界，数学研究的是人想出来的理念世界。

（2）物理的真理是靠观察、实验来检验，有一定的局限性（误差），而数学的真理带有“绝对”的性质。举一个简单的例子：圆周率π的小数点后第100位、第1000位乃至任何一位都是唯一的数码；而物理中的普适常数——光速或普朗克常量，无论用什么单位，不用说100位靠不住，第50位、第30位是否能准确达到还很难说。

（3）从方法上讲，数学全靠拍脑袋，而物理学要靠实验，正因为如此，牛顿以后的物理学形成三大分支：理论物理、实验物理、数学物理。数学只有在极其个别的情形才有人提到理论数学、实验数学（不少人做过掷硬币的试验）。不过在自然科学几乎没人谈起的纯物理、纯化学，却有数学的对应物——纯粹数学。

纯粹数学的出现

纯粹数学一词正式出现在数学文献中是在19世纪初，当时有三种专业数学期刊正式标有纯粹数学的字样，它们是：1810年法国数学家热尔戈纳（J. D. Gergonne，1771—1859）创办的《纯粹与应用数学年刊》（Annales de mathématiques pures et appliquées）；1826年德国数学家克雷勒（A. L. Crelle，1780—1855）创办的《纯粹与应用数学杂志》（Journal für die reine und angewandte Mathematik），常简称为《克雷勒杂志》；1836年法国数学家刘维尔（J. Liouville，1809—1882）创办的、与《克雷勒杂志》竞争的《纯粹与应用数学杂志》（Journal de mathématiques pures et appliquées）。

这三种数学期刊不约而同地选用“纯粹数学”的称谓表明：纯粹数学的概念已经成熟；纯粹数学是应用数学的对立面；纯粹数学取得一定的合法地位，为其不断扩张打下基础。

请注意，这些都是与当时整个社会的革命形势分不开的，具体到数学，数学家开始职业化、专业化，他们不仅要教学，还要搞科研，搞科研就要有专业杂志发表成果，没有成果不用说提职提级，可能连饭碗都保不住。200年来，纯粹数学的旗帜为许多天才数学家的创新提供了机会。在这个意义下，挪威人阿贝尔（N. H.Abel，1802—1829）可以说是第一位纯粹数学家[3]。时至今日，纯粹数学已经成为整个数学的主流。

是什么使人人都懂、人人都会的基础数学变成很少人才能理解的纯粹数学呢？答案是微积分。

从初等数学到高等数学

微积分是17世纪末由英国科学家牛顿（I. Newton，1643—1727）和德国科学家莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）独立发明的。我们习惯于把之前的数学称为初等数学，而把微积分及其后的发展特别是微分方程（包括常微分方程及方程组，偏微分方程及方程组，变分法等）称为高等数学。为了保持历史连贯性，不妨把初等数学归纳为十大学科：

（1）算术，

（2）数值代数；

它们可称为中国的算学。

（3）几何，

（4）三角；

它们可称为希腊的几何。

下面六个学科则是17世纪的产物，这里把每个学科的创立者列在其后。

（5）符号代数：韦达（F. Viète，1540—1603）；

（6）初等数论：费马（P. de Fermat，1601？—1665）；

（7）解析几何：笛卡儿（R. Descartes，1596—1650）与费马；

（8）射影几何：德萨格（G. Desargues，1591—1661）与帕斯卡（B. Pascal，1623—1662）；

（9）初等概率演算：帕斯卡与费马；

（10）初等组合学：帕斯卡。

初等数学的主要特色是它构成基础教育的重要组成部分，它是面向大众的，虽说有些部分对一些人有一定难度，但多数人还是能够理解，就像炒股的大妈也懂得股票的涨落图表示什么意思一样。与之对立，高等数学可就高得多了。首先是学起来很难，尽管微积分经过300年的简化和普及，大多数高中生还是不易搞明白。更重要的是，微积分可能解决的问题不是初等数学方法所能应付的。

克雷勒（左）与阿贝尔纪念邮票　阿贝尔是19世纪上半叶挪威杰出的青年数学家，也被认为是历史上第一位纯粹数学家。由于挪威地处偏远等各种原因，使阿贝尔生前没有受到身处数学中心的法、德的大数学家的足够重视。倒是一位知名度不高的数学家兼工程师克雷勒慧眼识才，阿贝尔在其创办的《克雷勒杂志》上发表了不少高质量论文，渐渐得到数学界的认可。可惜当时的阿贝尔已是穷困潦倒，27岁时因病去世，几天后克雷勒的信到了，信中告诉他柏林大学已授予他教授职位。《克雷勒杂志》在数学界名扬天下，不能不说与阿贝尔有关。

微积分的伟业

微积分、微分方程及其后来的发展可以说成果累累、战绩辉煌。一句话，它推动了科学革命。具体讲，它建立了各门学科体系，解决大量的实际问题。它的威力显示在下面的程式上：

建立物理模型→依据物理定律或假说提出数学模型（主要是微分方程）→求解方程→结果与实际情形的比对。

无论哪一门学科，最惊人的成就在于不仅能够圆满解释已发现的现象，更能预见或预言前所未知的事实。举三个例子来说明靠求解微分方程得出的重大预言。

海王星的发现

世界各地很早就都知道地球之外的五大行星：水、金、火、木、土，而第七大行星天王星和第八大行星海王星是靠完全不同方法发现。天王星是赫歇尔（ W. Hershel，1738—1822）在1781年发现的，他靠的是改进望远镜进行巡天普查。海王星的情况则是先用数学算出其大致在某时刻出没的区域，再用望远镜看到的。

电磁波的预言

19世纪最伟大的科学成就无疑是电磁学。由于麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）归结为十个方程的麦克斯韦方程组，求解方程得出电磁波的预言，其成果之伟大是怎么说也不过分的。它是科学中完美的三结合：法拉第（M. Faraday，1791—1867）的实验，麦克斯韦的理论思维，以及数学的求解。

数值天气预报

天气预报根据的是极其复杂的偏微分方程组。即使经过明显的简化也很难求出精确解（也就是能预报出某时某刻在你家门口能见到“东边日出西边雨”的景象）。对此，数学家会去求近似解、数值解。1922年数学家已找到近似方法，但预报明天的天气得等到后天之后。电子计算机问世之后，第一件普惠的事业就是在1954年实现短期天气预报。

上面三个例子显示出数学的超前预测能力，当然也有“事后诸葛亮”的情形。1834年，一位叫拉塞尔（J.S. Russell，1808—1882）的英国土木工程师，在一条水道上看到“孤立波”的现象，他称之为“平移波”（translation wave）。他求教于一些大科学家如斯托克斯（G.Stokes，1819—1903），也没能得到很好的解释。1894年，两位荷兰数学家提出浅水波方程，即著名的KdV方程。这方程高度非线性，没人会解。一直到1966年，一组美国数学家居然成功地得出该方程的精确解，该解被称为孤立子（solitons）。它不仅成功解释拉塞尔发现的平移波现象，而且带动一套数理方程的求解，还发现方程和解与纯粹数学（代数几何）的关联。

微积分（以及微分方程）带来众多重要成果，但它也不是十全十美的。它至少有三方面不足之处，而正是这些不足之处引导纯粹数学的产生与发展。

微积分的三方面不足之处

微积分（和微分方程）威力如此之大，它还有什么不足之处呢？

微分方程难于求解

如前所述，一门学科中得出微分方程是关键一步，然而要取得具体结果就要求解方程。但这是极为困难的事。这时出现两种不同的态度：科学家采用近似方法、数值方法等力求得出具体的结果——这可以说是应用数学的倾向；同时也有少数数学家坚持求精确解的观点，虽然暂时办不到，但他们去研究方程与解的关系，如果有解应该有什么性质，解的存在性、唯一性、正则性等等。正是这些研究导致纯粹数学的产生与发展。越来越多的成果也使得从牛顿时代以来就难解的问题取得突出的进步。牛顿解决了二体问题，但“三体问题”（如太阳、地球、月亮之间的相对位置和速度）一直是大难题，在18世纪靠近似方法解决一些特殊情形。纯粹数学家有足够耐心进行各种理论探讨，建立起微分方程定性理论乃至拓扑学这样的大理论，其应用远远超出狭窄具体问题的范围。20世纪，对付难解的非线性方程也取得重大进展。因《美丽心灵》而扬名天下的纳什（J. F. Nash，1928—2015）不仅在博弈论方面为人所知，而且在非线性分析中取得突出进展，与尼伦伯格一起荣获2015年阿贝尔奖。正是由于这些纯粹数学家的工作，数学保持它那“精密科学”的盛名。

微积分不严格

微积分之前的初等数学，没有人怀疑它们的可靠性。初等数学的可靠性有两个标杆：一个是正整数与正分数的运算，另一个是欧几里得几何。后一个比较复杂，先谈第一个，为了严密可靠，这里的运算先不考虑减法，只谈加法、乘法和除法，为了保证运算的确定性、严密性、可靠性、存在性、唯一性等，设置了三个禁区：（1）计算的对象只是正整数和正分数；（2）只进行有限次运算；（3）如果把0也“定义”为正整数，那么0不可以做除数，0/0无意义。

可是牛顿和莱布尼茨发明微积分时，都跨过禁区的红线，最突出的是引入所谓“无穷小量”。本来无理数的引入就产生麻烦，何况这个莫名其妙的无穷小量呢？可是没有它又不行，微分即无穷小量，导数就是无穷小量相除，而积分则是无穷多个无穷小量的和。正因为如此，微积分最早被称为“无穷小演算”。牛顿的术语有所不同，但本质上没什么差别。难怪他们两位打一场“哲学家的战争”。整个18世纪，有些人大胆使用，并取得丰硕成果，也有人表示怀疑大加批判。这使得数学家处于两难困境：微积分应用巨大成功与计算过程完全不可靠。

19世纪的纯粹数学家开始打扫战场，为原来不允许的运算立下规矩，首先是无穷级数的收敛与发散问题。正是阿贝尔首先认真谈到这个问题并率先给出收敛性判据（准则），其后出现几十个判据。很少人想到，为什么难懂的微积分17世纪就有了，而容易懂的无穷级数的收敛与发散到19世纪才出现，其实这正是19世纪纯粹数学要把不严格的微积分严格化的第一步。其后，法国数学家柯西（A. -L. Cauchy，1789—1857）把模糊的无穷小概念从微积分中清除出去，最后，德国数学家魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass，1815—1897）完全清除掉微积分中几何直观的痕迹，他构造出处处连续、处处不可微的函数（对应一条连续曲线处处没有切线），他把微积分完全建立在严格基础上，保留数学可靠性的特色。

微积分缺少完美的理论体系

微积分与过去整数、分数的代数运算完全不同，涉及许多全新的概念，这些概念一直模糊不清，更不用说完美的理论体系了。这些概念包括实数、函数、极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分、可微、解析、偏导数等等。经过18世纪特别是19世纪一些大数学家的努力，微积分及其后微分方程逐步建成一个严格的理论体系，其中最核心的是函数论，不仅有建立在实数理论上的实变函数论，而且出现了复变函数论，它们连同微分方程的各种理论形成了分析数学这个庞大的纯粹数学领域。到20世纪中，分析数学一直是数学的主流，它一直显示数学的两大本质特征：内涵的丰富性与应用的广泛性，其应用也不仅限于自然科学，还进入像经济学这类学科[4]。

结语

微积分经过200年的发展，纯粹数学经过100年的发展，到19世纪末，数学的面貌已经产生巨大的变化，就连对纯粹数学的看法也有戏剧性的改变。《克雷勒杂志》仍是权威的数学杂志（2015年已出到第700卷），只是应用数学那部分名不符实，因此有人把刊名中的d去掉，戏称之为“纯粹无用数学杂志”（Journal für die reine unangewandte Mathematik）。它不仅不考虑实际应用，而且清除掉初等数学的内容，变得高不可攀。纯粹数学与应用数学只有对立，没有统一。今天的数学已成为纯粹数学的一统天下，“纯粹”的帽子已经很少有人提起了。

纯粹数学的作用，通过从18世纪末和19世纪末的对比，就可以看得十分清楚。18世纪末，所有大数学家都有共识：数学思想已差不多穷尽，几十年内数学停滞不前，剩不下三位大数学家。有人甚至说，数学地位同阿拉伯语差不多，而这正是基础教育课的特色。实际上，所有基础教育无非是语文和初等数学，它们都是老一套，不会有太多新意。没想到从19世纪初起，关于数学的看法都被证明大错特错。正是纯粹数学把数学提高到一个博大精深的科研领域，就像物理、化学、生物学、医学等一样，之所以取得这样成果，源于下面三个方面取得突破。

（1）在少量初等对象（如数、三角形、圆等）之外，提出大量人工研究对象，例如函数、极限等，并构作其理论（如代数方程论、微分方程论等）。

（2）提出大量难易不等的问题。问题是任何学科的生命，过去初等数学只有一些平凡无聊的问题，也有一些极难问题，如费马大定理和哥德巴赫猜想等，直到很晚才解决或至今未解决。

（3）方法上的突破。微积分和微分方程成为研究几何的有力工具（微分几何），复分析推动解析数论大进步。

正因为如此，19世纪数学著作的体量是1800年以前全部数学著作的10倍，并形成数论、代数、几何、分析四大分支。

参考文献

[1] Gowers T, ed. The Princeton companion in mathematics. Princeton：Princeton University Press，2008.

[2] 胡作玄. 数学是什么. 北京：北京大学出版社，2008.

[3] 胡作玄. 近代数学史. 济南：山东教育出版社，2006.

[4] 胡作玄. 数学与社会. 大连：大连理工大学出版社，2008.

[5] 胡作玄. 纯粹数学用武何地. 科学，1995，47（5）：12-17.

来源：中国数学会http://www.sohu.com/a/212852620_701814

とても興味深く読みました：ゼロ除算のは発見はどうでしょうか：

再生核研究所声明312（2016.07.14）　ゼロ除算による　平成の数学改革を提案する

アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題　ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における基礎的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の基礎的な部分の変更は　かつて無かった事である。

そこで、最近の成果を基に現状における学術書、教科書の変更すべき大勢を外観して置きたい。特に、大学学部までの初等数学において、日本人の寄与は皆無であると言えるから、日本人が数学の基礎に貢献できる稀なる好機にもなるので、数学者、教育者など関係者の注意を換気したい。―　この文脈では稀なる日本人数学者　関孝和の業績が世界の数学に活かせなかったことは　誠に残念に思われる。

先ず、数学の基礎である四則演算において　ゼロでは割れない　との世の定説を改め、自然に拡張された分数、割り算で、いつでも四則演算は例外なく、可能であるとする。山田体の導入。その際、小学生から割り算や分数の定義を除算の意味で　繰り返し減法（道脇方式）で定義し、ゼロ除算は自明であるとし　計算機が割り算を行うような算法で　計算方法も指導する。―　この方法は割り算の簡明な算法として児童に歓迎されるだろう。

反比例の法則や関数y=1/xの出現の際には、その原点での値はゼロであると　定義する。その広範な応用は　学習過程の進展に従って　どんどん触れて行くこととする。

いわゆるユークリッド幾何学の学習においては、立体射影の概念に早期に触れ、ゼロ除算が拓いた新しい空間像を指導する。無限、無限の彼方の概念、平行線の概念、勾配の概念を変える必要がある。どのように、如何に、カリキュラムに取り組むかは、もちろん、慎重な検討が必要で、数学界、教育界などの関係者による国家的取り組み、協議が必要である。重要項目は、直角座標系で　ｙ軸の勾配はゼロであること。真無限における破壊現象、接線などの新しい性質、解析幾何学との美しい関係と調和。すべての直線が原点を代数的に通り、平行な２直線は原点で代数的に交わっていること。行列式と破壊現象の美しい関係など。

大学レベルになれば、微積分、線形代数、微分方程式、複素解析をゼロ除算の成果で修正、補充して行く。複素解析学におけるローラン展開の学習以前でも形式的なローラン展開(負べき項を含む展開)の中心の値をゼロ除算で定義し、広範な応用を展開する。特に微分係数が正や負の無限大の時、微分係数をゼロと修正することによって、微分法の多くの公式や定理の表現が簡素化され、教科書の結構な記述の変更が要求される。媒介変数を含む多くの関数族は、ゼロ除算　算法で統一的な視点が与えられる。多くの公式の記述が簡単になり、修正される。

複素解析学においては　無限遠点はゼロで表現されると、コペルニクス的変更（無限とされていたのが実はゼロだった）を行い、極の概念を次のように変更する。極、特異点の定義は　そのままであるが、それらの点の近傍で、限りなく無限の値に近づく値を位数まで込めて取るが、特異点では、ゼロ除算に言う、有限確定値をとるとする。その有限確定値のいろいろ幾何学な意味を学ぶ。古典的な鏡像の定説；原点の　原点を中心とする円の鏡像は無限遠点であるは、誤りであり、修正し、ゼロであると　いろいろな根拠によって説明する。これら、無限遠点の考えの修正は、ユークリッド以来、我々の空間に対する認識の世界史上に置ける大きな変更であり、数学を越えた世界観の変更を意味している。―　この文脈では天動説が地動説に変わった歴史上の事件が想起される。

ゼロ除算は　物理学を始め、広く自然科学や計算機科学への大きな影響が期待される。しかしながら、ゼロ除算の研究成果を教科書、学術書に遅滞なく取り入れていくことは、真智への愛、真理の追究の表現であり、四則演算が自由にできないとなれば、人類の名誉にも関わることである。ゼロ除算の発見は　日本の世界に置ける顕著な貢献として世界史に記録されるだろう。研究と活用の推進を　大きな夢を懐きながら　要請したい。

以　上

追記：

(2016) Matrices and Division by Zero z/0 = 0. Advances in Linear Algebra & Matrix Theory, 6, 51-58.

http://www.scirp.org/journal/alamt　　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007

http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf DOI:10.12732/ijam.v27i2.9.

再生核研究所声明316（2016.08.19）　ゼロ除算における誤解

（２０１６年８月１６日夜，風呂で、ゼロ除算の理解の遅れについて　理由を纏める考えが独りでに湧いた。）

６歳の道脇愛羽さんたち親娘が３週間くらいで　ゼロ除算は自明であるとの理解を示したのに、近い人や指導的な数学者たちが１年や２年を経過してもスッキリ理解できない状況は　世にも稀なる事件であると考えられる。ゼロ除算の理解を進めるために　その原因について、掘り下げて纏めて置きたい。

まず、結果を聞いて、とても信じられないと発想する人は極めて多い。割り算の意味を自然に拡張すると1/0=0/0=z/0　となる、関数y=1/xの原点における値がゼロであると結果を表現するのであるが、これらは信じられない、このような結果はダメだと始めから拒否する理由である。

先ずは、ゼロでは割れない、割ったことがない、は全ての人の経験で、ゼロの記録Brahmagupta(598– 668?)　以来の定説である。しかも、ゼロ除算について天才、オイラーの1/0を無限大とする間違いや、不可能性についてはライプニッツ、ハルナックなどの言明があり、厳格な近代数学において確立した定説である。さらに、ゼロ除算についてはアインシュタインが最も深く受け止めていたと言える：（George Gamow (1904-1968) Russian-born American nuclear physicist and cosmologist remarked that "it is well known to students of high school algebra" that division by zero is not valid; and Einstein admitted it as {\bf the biggest blunder of his life} ：Gamow, G., My World Line (Viking, New York). p 44, 1970.）。

一様に思われるのは、割り算は掛け算の逆であり、直ぐに不可能性が証明されてしまうことである。ところが、上記道脇親娘は　割り算と掛け算は別であり、割り算は、等分の考えから、掛け算ではなく、引き算の繰り返し、除算で定義されるという、考えで、このような発想から良き理解に達したと言える。

ゼロで割ったためしがないので、ゼロ除算は興味も、関心もないと言明される人も多い。

また、割り算の（分数の）拡張として得られた。この意味は結構難しく、何と、1/0=0/0=z/0　の正確な意味は分からないというのが　真実である。論文ではこの辺の記述は大事なので、注意して書いているが　真面目に論文を読む者は多いとは言えないないから、とんでもない誤解をして、矛盾だと言ってきている。1/0=0/0=z/0　らが、普通の分数のように掛け算に結びつけると矛盾は直ぐに得られてしまう。したがって、定義された経緯、意味を正確に理解するのが　大事である。数学では、定義をしっかりさせる事は基本である。―　ゼロ除算について、情熱をかけて研究している者で、ゼロ除算の定義をしっかりさせないで混乱している者が多い。

次に関数y=1/xの原点における値がゼロである　は　実は定義であるが、それについて、面白い見解は世に多い。アリストテレス（Aristotelēs、前384年 - 前322年 3月7日）の世界観の強い影響である。ゼロ除算の歴史を詳しく調べている研究者の意見では、ゼロ除算を初めて考えたのはアリストテレスで真空、ゼロの比を考え、それは考えられないとしているという。ゼロ除算の不可能性を述べ、アリストテレスは　真空、ゼロと無限の存在を嫌い、物理的な世界は連続であると考えたという。西欧では　アリストテレスの影響は大きく、聖書にも反映し、ゼロ除算ばかりではなく、ゼロ自身も受け入れるのに１０００年以上もかかったという、歴史解説書がある。ゼロ除算について、始めから国際的に議論しているが、ゼロ除算について異様な様子の背景にはこのようなところにあると考えられる。関数y=1/xの原点における値が無限に行くと考えるのは自然であるが、それがx=0で突然ゼロであるという、強力な不連続性が、感覚的に受け入れられない状況である。解析学における基本概念は　極限の概念であり、連続性の概念である。ゼロ除算は新規な現象であり、なかなか受け入れられない。

ゼロ除算について初期から交流、意見を交わしてきた２０年来の友人との交流から、極めて基本的な誤解がある事が、２年半を越えて判明した。勿論、繰り返して述べてきたことである。ゼロ除算の運用、応用についての注意である。

具体例で注意したい。例えば簡単な関数 y=x/(x -1) において x=1　の値は　形式的にそれを代入して 1/0=0　と考えがちであるが、そのような考えは良くなく、y = 1 + 1/(x -1)　からx=1　の値は1であると考える。関数にゼロ除算を適用するときは注意が必要で、ゼロ除算算法に従う必要があるということである。分子がゼロでなくて、分母がゼロである場合でも意味のある広い世界が現れてきた。現在、ゼロ除算算法は広い分野で意味のある算法を提起しているが、詳しい解説はここでは述べないことにしたい。注意だけを指摘して置きたい。

ゼロ除算は　アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題　ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における基礎的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の基礎的な部分の変更は　かつて無かった事である。と述べ、大きな数学の改革を提案している：

再生核研究所声明312（2016.07.14）　ゼロ除算による　平成の数学改革を提案する

以　上

file:///C:/Users/saito%20saburo/Downloads/P1-Division.pdf

再生核研究所声明335（2016.11.28）　　ゼロ除算における状況

ゼロ除算における状況をニュース方式に纏めて置きたい。まず、大局は：

アリストテレス以来、あるいは西暦６２８年インドにおけるゼロの記録と、算術の確立以来、またアインシュタインの人生最大の懸案の問題とされてきた、ゼロで割る問題　ゼロ除算は、本質的に新しい局面を迎え、数学における初歩的な部分の欠落が明瞭になってきた。ここ７０年を越えても教科書や学術書における数学の初歩的な部分の期待される変更は　かつて無かった事である。ユークリッドの考えた空間と解析幾何学などで述べられる我々の空間は実は違っていた。いわゆる非ユークリッド幾何学とも違う空間が現れた。不思議な飛び、ワープ現象が起きている世界である。ゼロと無限の不思議な関係を述べている。これが我々の空間であると考えられる。

１．ゼロ除算未定義、不可能性は　割り算の意味の自然な拡張で、ゼロで割ることは、ゼロ除算は可能で、任意の複素数zに対してz/0=0であること。もちろん、普通の分数の意味ではないことは　当然である。ところが、数学や物理学などの多くの公式における分数は、拡張された分数の意味を有していることが認められた。ゼロ除算を含む、四則演算が何時でも自由に出来る簡単な体の構造、山田体が確立されている。ゼロ除算の結果の一意性も　充分広い世界で確立されている。

２．いわゆる複素解析学で複素平面の立体射影における無限遠点は1/0=0で、無限ではなくて複素数0で表されること。

３．円に関する中心の鏡像は古典的な結果、無限遠点ではなくて、実は中心それ自身であること。球についても同様である。

４．孤立特異点で　解析関数は有限確定値をとること。その値が大事な意味を有する。ゼロ除算算法。

５． x,y　直交座標系で　y軸の勾配は未定とされているが、実はゼロであること; \tan (\pi/2) =0.　―　ゼロ除算算法の典型的な例。

６．直線や平面には、原点を加えて考えるべきこと。平行線は原点を共有する。原点は、直線や平面の中心であること。この議論では座標系を固定して考えることが大事である。

７．無限遠点に関係する図形や公式の変更。ユークリッド空間の構造の変更、修正。

８．接線や法線の考えに新しい知見。曲率についての定義のある変更。

９． ゼロ除算算法の導入。分母がゼロになる場合にも、分子がゼロでなくても、ゼロになっても、そこで意味のある世界。いろいろ基本的な応用がある。

１０．従来微分係数が無限大に発散するとされてきたとき、それは　実はゼロになっていたこと。微分に関する多くの公式の変更。

１１．微分方程式の特異点についての新しい知見、特異点で微分方程式を満たしているという知見。極で値を有することと、微分係数が意味をもつことからそのような概念が生れる。

１２．図形の破壊現象の統一的な説明。例えば半径無限の円（半平面）の面積は、実はゼロだった。

１３．確定された数としての無限大、無限は排斥されるべきこと。

１４．ゼロ除算による空間、幾何学、世界の構造の統一的な説明。物理学などへの応用。

１５．解析関数が自然境界を超えた点で定まっている新しい現象が確認された。

１６．領域上で定義される領域関数を空間次元で微分するという考えが現れた。

１７．コーシー主値やアダマール有限部分に対する解釈がゼロ除算算法で発見された。

１８．log 0=0、及び e^0　が２つの値1,0 を取ることなど。初等関数で、新しい値が発見された。

資料：

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:

http://www.scirp.org/journal/alamt　　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007

http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html

http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

*156 Qian,T./Rodino,L.(eds.):

Mathematical Analysis, Probability and

Applications -Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China.

(Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, Vol. 177)

Sep. 2016 305 pp.

(Springer) 9783319419435 25,370.

http://okmr.yamatoblog.net/division%20by%20zero/announcement%20326-%20the%20divi

数学基礎学力研究会のホームページ

URLは

http://www.mirun.sctv.jp/~suugaku堪らなく楽しい数学-ゼロで割ることを考える

以　上

file:///C:/Users/saito%20saburo/Downloads/P1-Division.pdf

再生核研究所声明353（2017.2.2）　ゼロ除算　記念日

2014.2.2　に一般の方から100/0　の意味を問われていた頃、偶然に執筆中の論文原稿にそれがゼロとなっているのを発見した。直ぐに結果に驚いて友人にメールしたり、同僚に話した。それ以来、ちょうど３年、相当詳しい記録と経過が記録されている。重要なものは再生核研究所声明として英文と和文で公表されている。最初のものは

再生核研究所声明　148（2014.2.12）:　100/0=0, 0/0=0　－　割り算の考えを自然に拡張すると　―　神の意志

で、最新のは

Announcement 352 (2017.2.2): On the third birthday of the division by zero z/0=0　

である。

アリストテレス、ブラーマグプタ、ニュートン、オイラー、アインシュタインなどが深く関与する　ゼロ除算の神秘的な永い歴史上の発見であるから、その日をゼロ除算記念日として定めて、世界史を進化させる決意の日としたい。ゼロ除算は、ユークリッド幾何学の変更といわゆるリーマン球面の無限遠点の考え方の変更を求めている。―　実際、ゼロ除算の歴史は人類の闘争の歴史と共に　人類の愚かさの象徴であるとしている。

心すべき要点を纏めて置きたい。

１）ゼロの明確な発見と算術の確立者Brahmagupta (598 - 668 ?)　は　既にそこで、0/0=0　と定義していたにも関わらず、言わば創業者の深い考察を理解できず、それは間違いであるとして、１３００年以上も間違いを繰り返してきた。

２）予断と偏見、慣習、習慣、思い込み、権威に盲従する人間の精神の弱さ、愚かさを自戒したい。我々は何時もそのように囚われていて、虚像を見ていると　真智を愛する心を大事にして行きたい。絶えず、それは真かと　問うていかなければならない。

３）ピタゴラス派では　無理数の発見をしていたが、なんと、無理数の存在は自分たちの世界観に合わないからという理由で、―　その発見は都合が悪いので　―　、弟子を処刑にしてしまったという。真智への愛より、面子、権力争い、勢力争い、利害が大事という人間の浅ましさの典型的な例である。

４）この辺は、２０００年以上も前に、既に世の聖人、賢人が諭されてきたのに　いまだ人間は生物の本能レベルを越えておらず、愚かな世界史を続けている。人間が人間として生きる意義は　真智への愛にある　と言える。

５）いわば創業者の偉大な精神が正確に、上手く伝えられず、ピタゴラス派のような対応をとっているのは、本末転倒で、そのようなことが世に溢れていると警戒していきたい。本来あるべきものが逆になっていて、社会をおかしくしている。

６）ゼロ除算の発見記念日に　繰り返し、人類の愚かさを反省して、明るい世界史を切り拓いて行きたい。

以　上

追記：

The division by zero is uniquely and reasonably determined as 1/0=0/0=z/0=0 in the natural extensions of fractions. We have to change our basic ideas for our space and world:

Division by Zero z/0 = 0 in Euclidean Spaces

Hiroshi Michiwaki, Hiroshi Okumura and Saburou Saitoh

International Journal of Mathematics and Computation Vol. 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.　

http://www.scirp.org/journal/alamt　　http://dx.doi.org/10.4236/alamt.2016.62007
http://www.ijapm.org/show-63-504-1.html
http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2014-27-2/9/9.pdf

再生核研究所声明371（2017.6.27）ゼロ除算の講演―　国際会議　https://sites.google.com/site/sandrapinelas/icddea-2017　報告

http://ameblo.jp/syoshinoris/theme-10006253398.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12276045402.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12263708422.html

1/0=0、0/0=0、z/0=0

http://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12272721615.html

ソクラテス・プラトン・アリストテレス　その他

https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12328488611.html

ゼロ除算の論文リスト：

List of division by zero:
L. P. Castro and S. Saitoh, Fractional functions and their representations, Complex Anal. Oper. Theory {\bf7} (2013), no. 4, 1049-1063.
M. Kuroda, H. Michiwaki, S. Saitoh, and M. Yamane,
New meanings of the division by zero and interpretations on $100/0=0$ and on $0/0=0$, Int. J. Appl. Math. {\bf 27} (2014), no 2, pp. 191-198, DOI: 10.12732/ijam.v27i2.9.
T. Matsuura and S. Saitoh,
Matrices and division by zero z/0=0,
Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory, 2016, 6, 51-58
Published Online June 2016 in SciRes. http://www.scirp.org/journal/alamt
\\ http://dx.doi.org/10.4236/alamt.201....
T. Matsuura and S. Saitoh,
Division by zero calculus and singular integrals. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics.)
T. Matsuura, H. Michiwaki and S. Saitoh,
$\log 0= \log \infty =0$ and applications. (Submitted for publication).
H. Michiwaki, S. Saitoh and M.Yamada,
Reality of the division by zero $z/0=0$. IJAPM International J. of Applied Physics and Math. 6(2015), 1--8. http://www.ijapm.org/show-63-504-1....
H. Michiwaki, H. Okumura and S. Saitoh,
Division by Zero $z/0 = 0$ in Euclidean Spaces,
International Journal of Mathematics and Computation, 28(2017); Issue 1, 2017), 1-16.
H. Okumura, S. Saitoh and T. Matsuura, Relations of $0$ and $\infty$,
Journal of Technology and Social Science (JTSS), 1(2017), 70-77.
S. Pinelas and S. Saitoh,
Division by zero calculus and differential equations. (Differential and Difference Equations with Applications. Springer Proceedings in Mathematics \& Statistics).
S. Saitoh, Generalized inversions of Hadamard and tensor products for matrices, Advances in Linear Algebra \& Matrix Theory. {\bf 4} (2014), no. 2, 87--95. http://www.scirp.org/journal/ALAMT/
S. Saitoh, A reproducing kernel theory with some general applications,
Qian,T./Rodino,L.(eds.): Mathematical Analysis, Probability and Applications - Plenary Lectures: Isaac 2015, Macau, China, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, {\bf 177}(2016), 151-182. (Springer) .

再生核研究所声明 395(2017.11.5): 　ゼロ除算物語　－　記録、回想

ゼロで割る問題は、ゼロ除算は　２０１４．２．２　友人二人に100/0=0を認識したとメールしてから、面白いいろいろな経過があって発展している。　再生核研究所声明や解説などで経過を述べてきたが、印象深い事実をできるだけ事実として記録して置きたい。文献は整理して保管するように整理して置きたい。事実を記録するため、以下詳しい記録は特別な仲間以外は　この世を去って3年間は未公開としたい。絶えずできるだけ更新、記録を随時追加していきたい。

２０１７．１１．０５．０５：４０　晴天

ドキュメンタリー 2017: 神の数式第２回宇宙はなぜ生まれたのか

https://www.youtube.com/watch?v=iQld9cnDli4

〔NHKスペシャル〕神の数式完全版第3回宇宙はなぜ始まったのか

https://www.youtube.com/watch?v=DvyAB8yTSjs&t=3318s

NHKスペシャル〕神の数式完全版第1回この世は何からできているのか

https://www.youtube.com/watch?v=KjvFdzhn7Dc

NHKスペシャル神の数式完全版第4回異次元宇宙は存在するか

https://www.youtube.com/watch?v=fWVv9puoTSs