さてさて今回はタイトルの通り述べていこうとおもっています。
いろいろな導入の仕方がありますが、とりあえずこうなるものだ
としていろいろ話をしていきます。
まぁ高校生以上の知識は必要とします
まず相対性理論からは時間と空間を同等に扱います
そのため、ベクトルに時間の項も入れて成分を４つにします
自然単位系を用いるとc=1としますので時間をt、位置をｘとします。
すると添え字を上付きで表した座標は
とあらわせるわけです。
添字の意味は0～3までの値をとります。0は時間成分、1～3は空間成分ですね。
同じようにして下付きの座標も定義できます
添え字が下になるんですね、あと空間成分がマイナスになります
なぜこうするかというと
元々はどういった系（慣性系）の人からも同じになるもの（スカラー）を
特殊相対論では
とするためです。（同じ添え字が二回でると和つまりΣをとっていると思ってください）
これはいわゆる内積みたいなものですね。
スカラーとはここで見てても電車に乗ってみてても
同じ値をとるものです。ベクトルは見る場所（系）で方向や値が変わってきます
これと同じような感じで一般の反変、共変ベクトルを定義します
という関係になっており、iは１～３の値をとります
そして上と同じように内積をつくることもできます
また異なったベクトル同士の内積もつくれて
次にベクトルの直積でテンソルをつくります
これはそれぞれの添え字に対して４つづつ値をとるので
計１６個成分があるものです（添え字が違うことに注意）
そしてこれを２階の反変テンソルといいます
同様にして
ベクトルの直積から添え字のたくさんついたものもつくれます
また添え字の上げ下げができないと困るので
上げ下げを行う計量テンソルというものを定義します
今は特殊相対論の適用範囲内で考えていますので計量テンソル
はミンコフスキー空間（つまり普通の空間）の計量テンソルとなります
具体的には
となり、（本によって符号が違うので注意！）
となっていることは確かめてみてください
実際やってみるとなっています。（同じ記号は和をとる！）
このようにして添え字を上にしたり下にしたりできます
また右辺に2回でてくる添え字νはダミーの添え字と呼ばれ別に
νじゃなくてもいいですが、μのところ両辺でそろえないといけません
また添え字を上げるときは逆行列を用いますが、ミンコフスキー空間ではどちらも同じです
右辺はクロネッカーのデルタです
（左側のηと右側のηの行列成分が同じになることも確かめてみてくださいね）
添え字の上げ下げは一般のテンソル（添え字がいっぱいくっついたものにも）でも
同じようにつかえて
となります。左辺と右辺ではダミーでない添え字が同じようになっていることを
見てみてください
なお、この左辺を1階反変3階共変テンソルなどといいます
とりあえず1回目はこんな感じです
簡単すぎましたでしょうか？
次回はもう少し深く変換から定義したいと思います
間違い、ご指摘などありましたらおっしゃってください
追記１１月１４日訂正加筆しました
いろいろな導入の仕方がありますが、とりあえずこうなるものだ
としていろいろ話をしていきます。
まぁ高校生以上の知識は必要とします
まず相対性理論からは時間と空間を同等に扱います
そのため、ベクトルに時間の項も入れて成分を４つにします
自然単位系を用いるとc=1としますので時間をt、位置をｘとします。
すると添え字を上付きで表した座標は
とあらわせるわけです。
添字の意味は0～3までの値をとります。0は時間成分、1～3は空間成分ですね。
同じようにして下付きの座標も定義できます
添え字が下になるんですね、あと空間成分がマイナスになります
なぜこうするかというと
元々はどういった系（慣性系）の人からも同じになるもの（スカラー）を
特殊相対論では
とするためです。（同じ添え字が二回でると和つまりΣをとっていると思ってください）
これはいわゆる内積みたいなものですね。
スカラーとはここで見てても電車に乗ってみてても
同じ値をとるものです。ベクトルは見る場所（系）で方向や値が変わってきます
これと同じような感じで一般の反変、共変ベクトルを定義します
という関係になっており、iは１～３の値をとります
そして上と同じように内積をつくることもできます
また異なったベクトル同士の内積もつくれて
次にベクトルの直積でテンソルをつくります
これはそれぞれの添え字に対して４つづつ値をとるので
計１６個成分があるものです（添え字が違うことに注意）
そしてこれを２階の反変テンソルといいます
同様にして
ベクトルの直積から添え字のたくさんついたものもつくれます
また添え字の上げ下げができないと困るので
上げ下げを行う計量テンソルというものを定義します
今は特殊相対論の適用範囲内で考えていますので計量テンソル
はミンコフスキー空間（つまり普通の空間）の計量テンソルとなります
具体的には
となり、（本によって符号が違うので注意！）
となっていることは確かめてみてください
実際やってみるとなっています。（同じ記号は和をとる！）
このようにして添え字を上にしたり下にしたりできます
また右辺に2回でてくる添え字νはダミーの添え字と呼ばれ別に
νじゃなくてもいいですが、μのところ両辺でそろえないといけません
また添え字を上げるときは逆行列を用いますが、ミンコフスキー空間ではどちらも同じです
右辺はクロネッカーのデルタです
（左側のηと右側のηの行列成分が同じになることも確かめてみてくださいね）
添え字の上げ下げは一般のテンソル（添え字がいっぱいくっついたものにも）でも
同じようにつかえて
となります。左辺と右辺ではダミーでない添え字が同じようになっていることを
見てみてください
なお、この左辺を1階反変3階共変テンソルなどといいます
とりあえず1回目はこんな感じです
簡単すぎましたでしょうか？
次回はもう少し深く変換から定義したいと思います
間違い、ご指摘などありましたらおっしゃってください
追記１１月１４日訂正加筆しました