みなさんはこのタイトルのようになるものを知っているでしょうか？
小学校、中学校では当たり前のように
２×３は３×２ですね
高校で理系だった人は行列(matrix)じゃん、となるでしょう
大学で理工系にいる場合は量子力学を思い浮かべるかもしれませんね
そのようにこの概念は現在の科学を支えているものでもあります(^-^)/
この掛ける順序（演算の順序）にかかわらない場合を交換するといい
同じにならないときは交換しない
というわけですね
基本的に連続なものは物理としては群を成しているものがほとんどです
この交換する場合をアーベル群（Abelian group）
しない場合を非アーベル群(non-Abelian group)といったりします
このアーベル、非アーベル群に属するものが素粒子理論ではかなり重要になってくるんですね(-^□^-)
■□■□■□■□■□ 以下、用語も含む ■□■□■□■□■□
量子力学ではまず位置ｘという演算子(operator)と運動量ｐという演算子に交換関係を課します
[x,p]=ih/(2pi)
これが前提になってきているわけです
場の理論においては、これを多数の粒子（状態）にも拡張できるように定義しなおします
いわゆる第２量子化(second quantization)といわれるものです
場の演算子としてψ(x)とそのエルミート共役(hermite conjugate)ψ(x)^†に交換関係を課します
これは先ほどの量子力学におけるものと等価です
別に２回目の量子化という意味ではありません
さて電磁場の理論ではゲージ場として４元ベクトルA_μを用います
これは勿論交換可能であります。これは局所的（local）なU(1)変換による対称性(symmetry)によるものです
しかし、弱い相互作用や強い相互作用ではゲージ場W_μやG_μは
場がスピノル場(spinor)を並べたものになっているために行列になっています
そのため、交換しません。これは局所的なSU(2)変換の生成元(generator)が非アーベル群に属することによります
（弱い相互作用ではパウリ(Pauli)行列などSU(2)に属しているもの）
共変微分(covariant differentiation)を局所的な変換（U(1)やSU(2)、SU(3)など）に対して
ゲージ不変(gauge invariant)になるように再定義し、
そこから理論としてゲージ不変なラグランジアン(lagrangean)を出し、運動を記述する方程式を導く
これはヤンｰミルズ(Yang-Mills)理論と呼ばれていたりします
なかなかこの理論の着眼点や発想はすばらしいものがあると思います
何か勘違い、ご指摘ありましたら、遠慮なく叱ってください
小学校、中学校では当たり前のように
２×３は３×２ですね
高校で理系だった人は行列(matrix)じゃん、となるでしょう
大学で理工系にいる場合は量子力学を思い浮かべるかもしれませんね
そのようにこの概念は現在の科学を支えているものでもあります(^-^)/
この掛ける順序（演算の順序）にかかわらない場合を交換するといい
同じにならないときは交換しない
というわけですね
基本的に連続なものは物理としては群を成しているものがほとんどです
この交換する場合をアーベル群（Abelian group）
しない場合を非アーベル群(non-Abelian group)といったりします
このアーベル、非アーベル群に属するものが素粒子理論ではかなり重要になってくるんですね(-^□^-)
■□■□■□■□■□ 以下、用語も含む ■□■□■□■□■□
量子力学ではまず位置ｘという演算子(operator)と運動量ｐという演算子に交換関係を課します
[x,p]=ih/(2pi)
これが前提になってきているわけです
場の理論においては、これを多数の粒子（状態）にも拡張できるように定義しなおします
いわゆる第２量子化(second quantization)といわれるものです
場の演算子としてψ(x)とそのエルミート共役(hermite conjugate)ψ(x)^†に交換関係を課します
これは先ほどの量子力学におけるものと等価です
別に２回目の量子化という意味ではありません
さて電磁場の理論ではゲージ場として４元ベクトルA_μを用います
これは勿論交換可能であります。これは局所的（local）なU(1)変換による対称性(symmetry)によるものです
しかし、弱い相互作用や強い相互作用ではゲージ場W_μやG_μは
場がスピノル場(spinor)を並べたものになっているために行列になっています
そのため、交換しません。これは局所的なSU(2)変換の生成元(generator)が非アーベル群に属することによります
（弱い相互作用ではパウリ(Pauli)行列などSU(2)に属しているもの）
共変微分(covariant differentiation)を局所的な変換（U(1)やSU(2)、SU(3)など）に対して
ゲージ不変(gauge invariant)になるように再定義し、
そこから理論としてゲージ不変なラグランジアン(lagrangean)を出し、運動を記述する方程式を導く
これはヤンｰミルズ(Yang-Mills)理論と呼ばれていたりします
なかなかこの理論の着眼点や発想はすばらしいものがあると思います
何か勘違い、ご指摘ありましたら、遠慮なく叱ってください