とある数学系youtubeに、次のような面白い問題がありました。
「連続した５つの自然数の積が２４４１８８０である。この５つの自然数は何か。」
この問題は、実際に灘中で出題された入試問題だったそうです。
勿論、素因数分解して地道に解けば確実に解けるのですが、
もう少し筋の良い解き方をしてみましょう。
・あたりを付ける
連続した５つの自然数の中央の数をnと置きます。この時、
連続した５つの自然数は、(n-2)・(n-1)・n・(n+1)・(n+2)＝n(n^2-1)(n^2-4)であり、nがあまりに小さくなければ、大まかにはn^5くらいです。
２４４１８８０＝２．４４１８８×１０^６
＝２４．４１８８×１０^５
ここで、２４＜２^５＝３２に注目すると、nは20付近で20より少し下だろう、と予測できます。
厳密には少し粗い見積もりではありますが、以下ではこの予測を認めて、議論を進めます。
・２の指数と３の指数に注目する
実際に計算してみると、
２４４１８８０＝２×１２２０９４０
＝２^２×６１０４７０
＝２^３×３０５２３５
＝２^３×３×１０１７４５
＝２^３×３^２×３３９１５
＝２^３×３^３×１１３０５
で、２４４１８８０の２の指数および３の指数はともに３です。
ここでnが20付近であることから、２^４＝１６であることと、連続５整数に３の倍数は多くとも２つしかないことを考慮すれば、次の2つのことが分かります。
・(n-2)から(n+2)までの間に、16は含まれない。…(A)
・(n-2)から(n+2)までの間に、18＝２×３^２が必ず含まれる。…(B)
nが20付近かつ(A)と(B)により、この時点で考えられる可能性は、
n=19(17、18、19、20、21)か、n=20(18、19、20、21、22)
ということになります。
・１１の倍数の判定法を利用する
１１といえば数秘術でお馴染みのナンバーですが、ある自然数が１１の倍数であることの判定法に、「1桁ずつ交互に＋－した数が１１の倍数ならば、元の数は１１の倍数」というものがあります。
この判定法は、３、９の倍数の判定法や、数秘で使う数の割り出し方とよく似ています（「交互に＋－」となっているところを「単純に足し合わせる」に読み替えればよい）。
例えば、１３４２であれば
１－３＋４－２＝０
で、実際１３４２＝１１×１２２となっています。
こうなるのは、１０≡－１ （mod１１）、１０^２≡(－１)^２≡１ （mod １１）
であることから、ほぼ明らかです。
この判定法を２４４１８８０に適用すると、
２－４＋４－１＋８－８＋０＝１
なので、２４４１８８０は１１の倍数でないとわかります。
既にnは１９か２０であることが分かっていたので、これによりn＝20の可能性も消え、求める５つの連続する自然数はn＝19の場合、すなわち
１７、１８、１９、２０、２１
であることが分かります。■
それでは、今夜の一曲です。
DREAMS COME TRUEで「普通の今夜のことを -let tonight be forever remembered」
元folderのヴォーカリスト、三浦大知のカヴァー・ヴァージョンもどうぞ。