合同のタイルを使わずに任意の領域を埋める場合
正方形の領域の中にその正方形より小さく合同でない2つ以上の正方形で埋めるとする。これは「ルジンの問題」と言い、コンピュータを使って解が求められました。次の図はその解の一つです。
それぞれの正方形の1辺の長さが2,4,6,7,8,9,11,15,16,17,18,19,24,25,27,29,33,35,37,42,50で正方形領域の1辺の長さが112になります。
合同のタイルを使用出来るが、タイルと領域が特殊な形の場合
領域が正六角形でタイルが領域より小さい正六角形のとき普通に敷き詰める場合どうしても隙間が出来てしまう。しかし、もし“無限に小さい”タイルがあるとしたら隙間無く敷き詰めることが出来ることが分かる。次の図はその敷き詰め方の例です。
図から分かるように空いた隙間に出来るだけ大きいタイルを敷き詰める作業を無限に行います。また、円領域を円形タイルで埋めるときもこの方法を使います。次の動画では帯状の領域を円形タイルで埋めた様子が分かります。
https://www.youtube.com/watch?v=jFwrwZzO3bo
特殊な合同のタイルを使い無限に広い領域を埋める場合1
全て同じタイルで敷き詰める時、通常なら三角形や四角形、五角形、平行六角形などですが、特殊な形をしたタイルで埋めることも出来ます。例えば、有名な画家M.C.エッシャーがデザインしたトカゲや鳥の形をしたタイルが有名です。また、一部のフラクタルはタイルとして平面充填出来ます。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%A9%E3%82%B4%E3%83%B3%E6%9B%B2%E7%B7%9A
特殊な合同のタイルを使い無限に広い領域を埋める場合2
正七角形や正八角形のみを使ったり、一点に正三角形の頂点が8個くっついたり、一点に正六角形が4個くっつくような敷き詰めも有ります。しかし、通常の平面では不可能であることが分かります。実は、この方法は特殊な空間上で成り立つ敷き詰めです。通常の空間は「ユークリッド空間」と言い、その空間上での幾何学を「ユークリッド幾何学」と言いますが、この特殊な空間は「ボヤイ・ロバチェフスキー空間」と言い、その空間上での幾何学を「ボヤイ・ロバチェフスキー幾何学」または「双曲幾何学」と言います。その空間上での三角形の内角の和は180°より小さくなると言う特徴を持ちます。そのため、通常では有り得ない敷き詰めが出来るのです。
ボヤイ・ロバチェフスキー幾何学を利用したパズルゲーム https://www.youtube.com/watch?v=nwIiT_uJOj8