曲面と非ユークリッド幾何学 その2

身近な図形でもっと興味深い形がある。その形はドーナツや浮き輪に見られるあのリング状の形。数学用語でいうと“トーラス”と呼ばれる円をその円の中心からずらした軸を中心に回転させた形である。

3次元トーラスは2つの部分に分解ができる。曲率が正と曲率が負の箇所に分けることができる。

曲率が正の部分では全ての方向において極値を持ち、負の部分では極値を持たない。

また、極値が正の部分は球面幾何学で、負の部分は双曲幾何学になる。



3次元トーラスは3次元空間上で表裏逆転させるときは展開をしてから裏返す必要があるが、4次元空間上では展開することなく4次元回転で裏返すことができる。また、3次元トーラスは3次元球とは違い極が1次元である。それを利用した平坦トーラスというものがある。
球面の場合、経線に沿って下から上へ極部に向かって進んだとき、極を通過したあと180度違う経線を上から下へ進むようになる。また、緯線に沿って右から左へ移動するとき同じ緯度を同じ方向で進む。

しかし、平坦トーラスの場合、経線に沿って下から上へ極部に向かって進んだとき、極を通過したあと同じ経線上を同じ方向に進む。また、緯線に沿って右から左へ移動するとき同じ緯度を同じ方向で進む。