「 A、Bがともに2以上の整数であるとき、次の問いに答えなさい。
(1)A × 675 = B × B を満たす最も小さいBはいくつですか。
(2)A × 675 = B × B × B を満たす2番目に小さいAはいくつですか。」2025
ホッホー
(1)パッとみて、十秒ほど考えて、まず、A が3、そして B が45と確信した(答え)
なんでかいうたら、675は25 × 27や。というのは、25 × 25 = 625やろ。これは知ってる、というかおぼえてる。
とすると、
A × 675 = B × B ⇒ A × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 = B × B
そしたら、もう1つ3があれば、サザンが9、ゴック45となり、45の2乗となるやろ。しかも、2025やん。本問、出題年の西暦な。
パッとみて、2025に山はって、乗数化しては「最も小ちゃい B は45!」と言い当てる瞬発力の消防がいれば、私ハ、その消防の前で兜をぬぐ。実際におるはずや。 ” ニ ュ ー R ” の諸君な。
(2)A × 675 = B × B × B
これは、パッとみて、一番小ちゃい A は5や。
なんでかいうたら、
A × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 = B × B × B
と式を書いてみると、A が5ならば、右辺は15の3乗になることが一目瞭然やろ。
したがって、B は15。ところが、2番目に小ちゃい A を問われている。
40ちゃうかな(答え)。
なんでかいうたら、
5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 = B × B × B の場合が最小だったので、2の3乗、つまり8を乗じると2番目に小ちゃい数になるはずなので。
とすると、
(5 × 2 × 2 × 2) × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 = B × B × B となり、
すなわち、5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = B × B × B
ところで、
5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 = B × B × B は、まさに、
5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 1 × 1 × 1 = B × B × B に、他ならないが、わざわざの記述には、それが1番小ちゃいことが目視できるだけの意義しかない。
さておき、したがって、
A × 675 = B × B × B は、
40 × 675=30 × 30 × 30となり、27000として成り立ち辻褄が合う。
塾の先生諸兄と答え合わせできていないけど、これで間違いないと思うわ。
ちょっとした難問だったはず。
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まぁ、25の2乗が625であることを知ってたら、675が、25かけることの27であることにすぐに気づくはず。それは、5の2乗、かけることの3の3乗や。それを大層に素因数分解しては認識する間を合理化できる。私ハ、11から19までの乗数については連続数としておぼえてる。たとえば、16では256や。他、その連続した2倍数は、512、1024、2048、4096、8192、16384、・・・。これくらいはもうおぼえていたほうが速い。電卓よりも。