本『ヒルベルト空間と量子力学』（新井朝雄，共立出版）で８０頁にわたって解説されていることを，話の流れを掴みやすくするために無理やり３頁に詰めたあれ。定義も証明もほとんどすべて省略している。なお例はすべて消し飛んだ。
以下ではすべての文に [ ] の形で印を付ける。
自分の復習用のノートなので多分他の人が読んでもよくわからないと思う。
スペクトルにはまだ入っていない。
[Def]は定義。
[Axiom]，[Method]，[Remark]はの三つ定理（ときどき定義や公理）で
[Axiom]は理論の基礎になっているもの（単によく使うという意味で，論理的な意味での公理ではない）
[Method]は証明も含めて大切と思うもの
[Remark]は気を付けておいたほうがいいもの（しかし定義とか定理というほどの大それたものではない）
[Question]は（下で使っているかわからないが）私が思う疑問点
というように主観的に使い分けている。私の理解が至らない関係で[Axiom]とすべきところが[Method]になっていたり[Method]であるべきところが[Remark]になっていたりする。
１．ヒルベルト空間H内の一次結合の一般論
[Def] 集合は複素係数の一次結合に関して閉じているとき，（ここでは）線型集合という。
[Axiom] 無限次元公理：線型集合Hは一次独立な生成族が存在するとき有限次元（または有限生成）といい，任意有限個数の一次独立族が存在するとき，無限次元という。線型集合Hは有限次元でないとき，Hは無限次元である（点列の存在原理）。
[Def] Hの線型部分集合Dに対して，Dの元の有限和全体（線型包）をL(D):={有限和∑a_n f_n ；a_n∈C, f_n∈D.}で表す。
[Def] 内積を<・|・>で表す。<f|g>=0のとき直交するといいf⊥gで表す。内積から定まるノルムを|・|で表す。
[Axiom] 非退化性の公理：f=0⇔∀g∈H, <f|g>=0. これは一意性原理の基礎である。
[Axiom] 完備性の公理：ヒルベルト空間Hはノルムを距離と思ったとき完備（基本列が適当なHの元に収束する）である。これはあらゆる存在原理の基礎になる。
２．閉部分空間と正射影原理
[Def] Dを部分集合とする。任意のf∈Hに対して，Pf∈Dが存在して，(f-Pf)⊥Dであるとき，PfをfのDへの正射影といい，PをDへの射影子という。
[Method] 正射影原理（有限生成の場合）：任意の有限次元の線型部分集合Dに対して，Dへの射影子が存在する。
[Method] グラム・シュミットの直交化：任意の一次独立族{f_n}に対して，ある（正規）直交族{g_n}が存在して，L({f_n})=L({g_n})である。（∵f_nから{g_1,…,g_(n-1)}への正射影成分を逐次引いていくことにより直交化される）
[Remark] Hの閉部分空間は部分ヒルベルト空間である。以下，部分集合Dの閉包を[D]で表す。なお，任意の有限次元線型部分集合は閉部分空間であることに注意する。
[Def] 部分集合Dに対して，直交補空間をD^⊥:={f∈H | ∀g∈D, f⊥g.}で定義する。これは閉部分空間である。
[Remark] 部分集合Dに対して，D^⊥=L(D)^⊥=[D]^⊥である。
[Axiom] 正射影原理（極限で閉じてる場合）：閉部分空間Dに対して，Dへの射影子Pが存在する。（∵f∈Hに対して，Hの距離で測ってfに一番近いDの元が正射影Pfである。この存在には完備性が利いている）
特にDが全域Hに等しくないとき，D^⊥＼Dは空でない。
[Method] 直交和分解：Dが閉部分空間のとき，H＝D＋D^⊥（直交和）である。また，D^⊥⊥=[D]（二重直交補空間は閉包）である。
３．完全系
[Remark{ f_n}を正規直交族とする。任意のf∈Hに対して，無限級数F(f):=∑<f_n|f>f_n （＝fのf_nによる展開）は（Hの完備性により）収束する。しかし一般にはF(f)≠fである。
[Def] 正規直交族{f_n}は，任意のf∈Hに対してF(f)＝fのとき，完全正規直交族（C.O.N.S），または単に完全系という。
[Remark] 次の三つ(i)(ii)(iii)は同値：(i) {f_n}は完全系 (ii) 任意のf∈Hに対して，|f|^2＝∑|<f_n|f>|^2である (iii) L({f_n})^⊥={0}，つまり任意のnに対してf⊥f_nならばf=0
[Remark] 部分集合Dに対して，DがHで稠密なための必充条件はD^⊥={0}であること。
[Def] Hは稠密な可算部分集合を持つとき可分という。
[Remark] 完全系が存在するための必充条件は可分であること。
４．線型作用素の共役
[Remark] ヒルベルト空間HからKへの線型作用素は定義域D(T)がH全域であるとは必ずしも仮定されない。Tの定義域D(T)がヒルベルト空間でない（しかしあるヒルベルト空間に含まれていはいる）ようなものも考えるためである。
[Def] TはHからKへの線型作用素とする。<Tf|g>=<f|T^* g> （∀f∈D(T)）を満たすKからHへの線型作用素T^*をTの共役という。（ここではT^*が存在するかどうかはまだわからない）
[Method] Tが稠密な定義域D(T)を持つ（ [D(T)]=H ）とき，T^*は存在する。（存在域D(T^*)および各g∈D(T^*)に対する一意な像T^* g を決定できる）
[Remark] Tが有界のとき，T^* も有界で，T^**＝T
