行列式$A(x)$を微分する。
初めに、微分の定義から、
\begin{equation}\frac{d}{dx}detA(x)=\lim_{\delta x \to 0}\frac{detA(x+\delta x)-detA(x)}{\delta x}\end{equation}
ここで、右辺第1項に1次のテーラー展開を用いて、
\begin{equation}\frac{d}{dx}detA(x)=\lim_{\delta x \to 0}\frac{det(A(x)+\frac{\partial}{\partial x}\delta x+\o((\delta x)^2))-detA(x)}{\delta x} \end{equation}
\begin{equation} =\lim_{\delta x \to 0}\frac{det(A(x)+\frac{\partial}{\partial x}\delta x)-detA(x)+\o((\delta x)^2)}{\delta x} \end{equation}
\begin{equation} =\lim_{\delta x \to 0}\frac{detA(x)det(I+A(x)^{-1}\frac{\partial}{\partial x}\delta x)-detA(x)+\o((\delta x)^2)}{\delta x} \end{equation}
\begin{equation} =\lim_{\delta x \to 0}\frac{detA(x)(det(I+A(x)^{-1}\frac{\partial}{\partial x}\delta x)-1)+\o((\delta x)^2)}{\delta x} \end{equation}
\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}detA(x) & = & \lim_{\delta x \to 0}\frac{det(A(x)+\frac{\partial}{\partial x}\delta x+\o((\delta x)^2))-detA(x)}{\delta x} \\
& = & \lim_{\delta x \to 0}\frac{det(A(x)+\frac{\partial}{\partial x}\delta x)-detA(x)+\o((\delta x)^2)}{\delta x} \\
& = & \lim_{\delta x \to 0}\frac{detA(x)(I+A(x)^{-1}\frac{\partial}{\partial x}\delta x)-detA(x)+\o((\delta x)^2)}{\delta x}
\end{eqnarray}