東大数学２０２１年の第３問

この問題は何も難しくありません。

ただの計算問題です。

東大は単なる計算問題を毎年１問出題するのです。

計算を侮ることなかれ。

ということで、復習がてら求めます。

東大理系数学　２０２１年第３問

<1>から

f(x)の導関数を求める。商関数の微分法を用いると,

f'(x) =  (x^2+3 - 2x^2)/(x^2+3)^2 = (3 - x^2)/(x^2+3)^2

ここで、ℓ : y = f'(1)(x-1)+f(1)だから、

x = 1をf(x),f'(x)に代入して,

f(1) = 1/4, f'(1) = 1/8.

これらをℓの式に代入して,

g(x) = 1/8(x-1) + 1/4 = x/8 + 1/8...(1)

今、ℓとCの共有点のｘ座標をβとおく.

αは、f(β) - g(β) = 0を満たすから,(1)とf(x)の式にx=βを代入して,

β/(β^2+3) - β/8 - 1/8 = 0..(2)

(2)の式の両辺に8(β^2+3)をかけてβで整理すると,

8β - β(β^2+3) - β^2 - 3 = 0 ⇔ β^3 + β^2 - 5β + 3 = 0..(3)

条件よりβ = 1のとき(3)を満たし(3)はβ-1を因数に持つから,

組み立て除法を用いて, (3)の式は以下のように因数分解できる.

(β-1)^2(β+3) = 0...(4)

∴共有点の座標はAと点(-3,g(-3))の二つだけであり, そのx座標は-3である。

<2>

f(x) - g(x) = x/(x^2+3) - (x+1)/8だから、

(2)の定積分の被積分関数をh(x)とおくと,

h(x) = (x/(x^2+3) - (x+1)/8)^2 = x^2/(x^2+3)^2 - 2x(x+1)/8(x^2+3) + (x+1)^2/16.

よって、定積分：∫[-3～1]h(x)dx = ∫[-3～1](x^2/(x^2+3)^2 - 2x(x+1)/8(x^2+3) + (x+1)^2/16)dx

= ∫[-3～1]x^2/(x^2+3)^2dx - 1/4∫[-3～1]x(x+1)/(x^2+3)dx + 1/16∫[-3～1](x+1)^2dx

あとでします。

波動とドップラー効果

こんばんわ、長らく記事を書いていませんでした。

大学が忙しかったもので。

今回は大好きな物理の復習をしたいと思います。

私の目標は、遺伝子の研究者ですが、

数学と物理も好きで、量子力学などの理論物理とリーマン予想などの純粋数学にも興味があります。

だから、大学の勉強の合間にベクトル解析だったり電磁気学だったり微分方程式論などを独学してます。

今回は、波動の復習をしようと思う。

波動については、大学受験以来勉強していないのでおぼろげながら思考しながらドップラー効果まで導き出そうと思う。

次回は、光の波動としての性質について語ろうと思う。

波動とは何か？

波動とは、空間的に波が伝わる現象っていう言い方をされますが、

これははっきりいってトートロジーです。

もう少し厳密に言えば、ある位置での物理量の時間変化が、異なる位置に時間的に遅れて伝わる現象のことを指す。

数式で述べる。

原点の位置で、時刻tのときの物理量Dが時間の関数すなわちD = f(t,0)で与えられたとする。

ここで位置ベクトルr(x,y,z)で、時刻ｔのときの物理量D(t,r)がD(t,r) = f(t+t_r)で与えられるとき、

物理量Ｄは波動であるという。ただし、t_rは位置rの関数である。

すなわち、t_r = t(r).

ここで、各点の波速度を求めよう。

各点の波速度とは、各点においてどのくらいの速度で周りに波を伝えているかを表す量のことである。

もちろん、どの方向かによって、例えばx軸方向に進むかy軸方向に進むかによってその波の速度は異なる。

∴　方向ベクトルv = (sinφcosθ,sinφsinθ,cosφ)を用いてその方向に沿った方向微分で求めればよい。

ここでvは単位球面上の点を球座標で表したものである。θはｘｙ平面上の偏角、φはz軸とのなす角で0～πをとる。

今、位置rからr+⊿rの２点間の波の速度を求めたい。

その２点間の位相が一致するのに必要な時間が波が伝わるのにかかる時間である。

ここで、位相とは物理量Ｄの入力値のこと。つまり物理量Ｄの位相はその逆関数1/Dのこと。

つまり位相をζと表そう。すると位置rの位相ζ(r)は、

ζ(r) = 1/f(t,0) + t(r)である。

だから、２点間の位相差⊿ζは、⊿ζ = t(r+⊿r) - t(r)で与えられるわけである。

∴⊿rをこの位相差⊿ζで割れば、速度が出るわけだが、

同位相すなわち波が瞬間的に伝わる方向では位相差⊿ζが０になってしまう。

つまり、同位相面で速度が定義できない特異点ができる。これは解析上不便だから、

速度ではなくその逆数を代わりに求める。

方向ベクトルVの方向に沿った⊿ζは、x軸に沿った⊿ζの変化量＋y軸に沿った⊿ζの変化量＋z軸に沿った⊿ζの変化量の和に等しい。

∴ ⊿ζ = (⊿ζ/⊿x)v_x⊿r + (⊿ζ/⊿y)v_y⊿r + (⊿ζ/⊿z)v_z⊿r

これを⊿rで割って⊿r→0の極限を取れば、速度の逆数が得られるから、

⊿ζ/⊿r = (⊿ζ/⊿x)v_x + (⊿ζ/⊿y)v_y + (⊿ζ/⊿z)v_z = ∇ζ・V = ∇ ζ・V

また、方向まで考慮すれば、(∇ζ・V)Vである。

ここで、波の伝わる速度が最も遅い方向を考えよう。

それは位相の勾配に他ならない。これを位相ベクトルEという。

∴ E = grad ζである。 

位相ベクトルEこそ波動の正体であり、波動の伝搬方向を指す。

同位相面と位相ベクトルEは直交するから、各点の位相ベクトルEを繋げた直線を位相線と表現すると、

位相線は同位相面に直行する。

ここで、無限遠点での位相量を０と定義すると、ζは位相スカラーポテンシャルである。

公式

マイナーな公式たち

(座標変換の公式)

X = xcost + ysint　(Xカップのセックスコスプレイヤーyさん)

Y = ycost - xsint　(イジワルな舞妓さんが引くほど、エロイセックスサイン)

x = Xcost - Ysint　

y = Xsint + Ycost

物理で、ベクトルを分解するときなどにつかう。

∫1/sint dt = log|(cost+1)/(cost-1)|/2 + C

∫1/cost dt = log|(sint-1)/(sint+1)|/2 + C

∫1/tant dt = log|sint| + C