問題は何か: normal の transformation とは何か

コンピュータの内部で物体を移動させたり，回転させたりさせるには，行列を使うのが便利である．多くの場合，コンピュータ内部では物体は三角形やポリゴンなどで表現され，それらの頂点は座標によって表示される．ある物体を回転，移動させるには，この頂点に行列を適用することが通常行なわれる．頂点は通常3次元のベクトルである．

我々は，それぞれの三角形において，面がどこを向いているかの normal ベクトルを定義することができる．この normal も三次元のベクトルである． normalベクトルは照明の計算に必要なので，3D graphics システムで良く利用される．通常のベクトルは行列の適用で変換されるので，この，normalベクトルにも同じように行列を適用するのは straight forward に思われる．しかし，これは上手くいかない．なぜだろうか? これがこの記事のテーマである．

なぜ通常の transformation が normal では上手くいかないのか．

[3]によると， Eric Haines の説明がわかりやすいとある．[6] に同じ説明があり，確かにわかりやすい．同様の説明は [2]にもある．この説明は図 1のようなものである．

Figure 1. Scaling on a normal break the normal.

図1は，z 軸方向から見た z 方向に鉛直に立つ三次元の平面を考えている．この壁平面は (1,1,0) 方向の normal を持つ．つまりこの図は壁を上から見ている．この壁に次の M 行列を適用することを考える．これはx 方向を二倍に拡大する行列である．

壁は x 方向に二倍に拡大されたが，同じ行列を nomal に適用すると normal はこの壁の normal ではなくなってしまう．図 1の左図では，normal は壁に直交しているが，M の変換後(図右)ではもはや直交していない．これが問題である．

では，なぜnormalベクトルの変換は普通のベクトルと異なるのだろうか．

Normal transformation (2)