前回は sin と cos を使ったが，次の Euler の式を使うとこの関係はもっと簡潔になる．

に同じ T の操作を適用してみよう．

なんとこれも操作 T に関しての eigenfunction だった．

この関数は三角関数ベースなので，周波数解析の basis として良く使う．これまで見たように eigenvalue は操作の性質を簡潔に示すものだった．

入力 xと出力yがある場合，ある入力 x に操作 T を適用したものが出力yである．これが eigenvalue を持つ場合には以下のようになる．

つまり，入力が操作によって出力に transfer されている．どれだけ transferされているかが λ である．Signal processing の人達はこういうλを transfer function という．function ではないではないかというかもしれないが，この λ は通常入力 x の関数ではない．しかし，他のparameter の関数であることが通常なので，function となっている．たとえば，前式の λ は x の関数ではないが，ω の関数である．signal processing では通常 x は時間を示し，ω が周波数を示す．

したがって，signal processing での transfer function とは，線形代数での固有値問題なのである．いかがだろうか?

これが eigenvalue, eigenvector, eigenfunction and transfer function に関して私が最近理解したことです．この blog が多少の助けになれば幸いです．

謝辞

私はここに述べたようなことがしばらくわかりませんでした．そのために何度も同じようなつまらない質問をしたにもかかわらず，丁寧に解説して下さったAlexander B. に感謝します．

Eigenvalue and transfer function (8)