タクシー数(その2）で3通りの立方数の和としてあらわされる自然数を求めた。結果としてあまりに巨大な数しか出てこないので、もう少しうまくできないか考えてみる。
タクシー数(その2)で記したように
とおくと
この時、
であれば、
ともに正数である。
したがって、
ただし、
となる自然数Mがあれば、
となり、3通りの立方数の和として表わされる自然数が得られる。
そこで、100万以下の自然数で2通りに立方数の和としてあらわされる数43個のうち、立方数の差
(ただし、）としてもあらわされる数があるかどうか調べた。
ちなみに、http://oeis.org/A001235/b001235.txt に10,000番までのこのような数のリストがある。この表から調べた結果、以下の数のみが該当する。
したがって、以下4,104の場合のみ考える。
この時、
なので
であり、これらの最大公約数
でこれらを割ると
を得る。これより
がわかる。少しまともな3通りに立方数の和としてあらわされる数が得られた。