【令和４年度・数的処理】誕生日のパラドックス？！ 確率問題の基本【国家一般職・大卒区分・行政Ｎｏ．２０】
令和４年度・国家一般職（大卒・行政区分）No.20の問題です。
非常に典型的な確率の問題ですが、一度も解いたことが無い方は罠にはまってしまうかもしれません。
今回は問題解説の最後に『誕生日のパラドックス』と呼ばれる数学の問題についても、少しだけ触れたいと思います。
真面目に解こうとすると大変、、
確率の問題として、この問題を真正面から解こうとすると実は難解です。
なぜなら、問題で問われている『２人以上』の誕生月が同じという状況は、
①２人の誕生月が同じで、残り２人の誕生月は異なる。
②３人の誕生月が同じで、１人だけ誕生月が異なる。
③４人とも誕生月が同じ。
という複数の状況を含んでいるからです。
上記３つのパターンについてそれぞれ確率を計算するとなると、かなりの計算量が必要になってしまいます。
問題文の『言い換え』ができないか検討してみる
そこで、問題として問われている内容を、別の言葉で言い換えられないか考えてみます。
すると、『２人以上の誕生月が同じ』という状況は『全員の誕生月が異なっている訳では無い』とも言い換えられることに気が付きます。
すなわち、『全員の誕生月が異なっている』確率が分かれば、この問題に解答することもできそうです。
全員の誕生月が異なっている確率
全員の誕生月が異なっている確率は、上図のように計算することができます。
４人のうち１人に注目した時に、２人目が異なる誕生月である可能性は１１／１２となり、３人目が、１・２人目と異なる誕生月である可能性は１０／１２となり、４人目が他３人と異なる誕生月である可能性は９／１２となります。
すなわち、これら４人全員の誕生月が異なる可能性というのは、上記した３つの分数の掛け算で計算することができ、『９９０／１７２８＝５５／９６』となります。
問題文に立ち返る
ここで、問題文で聞かれていたことに立ち返ると、『２人以上の誕生月が同じになる確率』ですので、余事象であることの『全員の誕生月が異なる』確率を１から引くことによって、解答すべき確率を求めることができます。
したがって、『１ー５５／９６＝４１／９６』が答えとなり、選択肢４番が正解となります。
【コラム】誕生日のパラドックス
補足となりますが、数学用語（？）に『誕生日のパラドックス』というものがあります。
ここでいう『パラドックス』とは、論理的な矛盾を意味している訳ではなく、計算結果が人間の直感と大きくずれていることを意味しています。
上図に記載のとおり、４０人の人達が集まった時にその中の２人が同じ誕生日である確率はどのくらいでしょうか？
１年は３６５日ありますから、感覚的にはかなりの低確率だと感じますが、今回の問題で使った計算式を用いて数学的に確率計算してみると、なんと約９０％の確率となります。
YouTube講義