θの関数Θ(θ)
※微分方程式の本と量子化学の本をご用意いただくと読みやすくなると思います。前半はよく見かける解き方ですが、途中から少し異なるあまり見かけたことのない解き方になります。
まず最初に関数と変数を次のように置き換えます。
また次のようになります。
これらを代入すると次のようになります。
整理すると次のようになります。
さらに整理すると次のようになります。
また書き換えると次のように表せます。
これはルジャンドルの陪微分方程式と呼ばれます。
解法は色々あり、次のようなルジャンドルの微分方程式を経由して解く方法もあります。このルジャンドルの微分方程式は微分方程式の本に大変詳しく載っています。しかし今回は、直接ルジャンドルの陪微分方程式を、級数を使った数学的帰納法で解いていきます。
まず最初に関数P(z)を、初項がゼロでないベキ級数の関数に置き換えます。
※２つの特異点z=±１はどちらも正則点であり、これより上の式のようにおきます。詳しくは微分方程式の本をご覧ください。
G(z)は次のようにおいています。
以下、G(z)を求めていきます。
式(D-6)を式(D-5)へ、さらに式(D-4)へ代入して書き換え、数学的帰納法により漸化式を求めます。※ここも微分方程式の本または量子化学の本を見てください。
計算していくと、次のような漸化式が得られます。
G(z)は発散するため、P(z)も発散します。しかし波動関数P(z)としては有限な解しか認められません。そこで級数を有限な項数とする必要があります。あるν’で漸化式の分子を０にするとν’=ℓ－|m|となり、次のように以降の係数は全て０となります。
漸化式でν’=ℓ－|m|としたので、G(z)は最高次数z^(ℓ－|m|)、最高次数の係数aν’=aℓ－|m|の有限な項数の級数になり収束します。ゆえにP(z)も収束します。
この有限な項数の級数G(z)を、数学的帰納法により求めます。
漸化式で、ν→ν－2と置き換えると次のようになります。
さらにν’=ℓ－|m|より次のようになります。
(i)最初に、最高次数z^(ℓ－|m|)の係数aℓ－|m|を＋１とおきます。
数学的帰納法により一般項は次のように求まります。
また式(D-7)のような漸化式を持つ級数では、偶数と奇数に分けて考えなければなりません。ℓ－|m|が偶数(even)の級数をGeven(z)、ℓ－|m|が奇数(odd)の級数をGodd(z)と記すと、それぞれの級数は次のように表わすことができます。
(i-a) ℓ－|m|が偶数(even)
末項は最低次数z^0で、その係数a0。末項ではℓ－|m|－2k=0となり末項の数字は次のようになります。
そして級数は次のようになります。
(i-b) ℓ－|m|が奇数(odd)
末項は最低次数z^1で、その係数a1。末項ではℓ－|m|－2k=1となり末項の数字は次のようになります。
そして級数は次のようになります。
(ii)次に、最低次数の係数の絶対値が１の級数に変えます。
(最高次数の係数の符号はプラス(+)で変わりませんが絶対値が１でなくなります)
ℓ－|m|が偶数(even)の時とℓ－|m|が奇数(odd)の時、それぞれの級数をGeven,|1|(z)、Godd,|1|(z)と記す。
(ii-a) ℓ－|m|が偶数(even)
末項である最低次数z^0、その係数の絶対値|a0|を求め、さらに1/|a0|を求めます。
Geven(z)に1/|a0|を掛けるとGeven,|1|(z)が次のように得られます。
(ii-b) ℓ－|m|が奇数(odd)
末項である最低次数z^1、その係数の絶対値|a1|を求め、さらに1/|a1|を求めます。
Godd(z)に1/|a1|を掛けるとGodd,|1|(z)が次のように得られます。
(iii)そして式(D-5)に代入し、最高次数の係数の符号がプラス(＋)、そして最低次数の係数の絶対値１の、ルジャンドルの陪微分方程式のℓ次|m|階の解が次のように得られます。
(iii-a) ℓ－|m|が偶数(even)
(iii-b) ℓ－|m|が奇数(odd)
(iv)最後に、次のFactorを掛けます。
ℓ－|m|が偶数(ℓ＋|m|も偶数)の時と、ℓ－|m|が奇数(ℓ＋|m|も奇数)の時に、それぞれ次のFactorを掛けます。
最終的に最高次数の係数を(2ℓ)!/{2(^ℓ)ℓ!(ℓ－|m|)!}とした、ℓ次|m|階のルジャンドルの陪多項式が次のように得られます。
(iv-a) ℓ－|m|が偶数(even)
(iv-b) ℓ－|m|が奇数(odd)
以上でθの波動関数Θ(θ)が得られました。しかし規格化されていません。次に規格化します。
●規格化された波動関数Θ(θ)
θの関数Θ(θ)の規格化の式を再掲します。
Θ(θ)は実数の関数でありΘ(θ)=Θ*(θ)である。ゆえに次のように簡略化できます。
Θ(θ)=P(z),z=cosθとおいているので次のようになります。
これを代入すると規格化の式は次のように変数変換されます。
ここでθの関数の規格化定数Nを追加し、規格化されたθの関数Θ(θ)を次のようにおきます。
規格化の式に代入すると次のようになります。
整理すると次のようになります。
ℓ=ℓ’のときℓ次|m|階のルジャンドルの陪関数は次のような関係が知られています。
※詳しくは「微分方程式の本」と「量子力学の教科書・・・・」をご覧ください。
※「量子力学の教科書・・・・」には、陪微分方程式の母関数からの導出が詳しく載っています。
これを代入すると次のようになります。
整理すると次のようになります。
ここでは規格化定数として次を採用します。
ゆえに規格化されたの波動関数Θ(θ)は、次のようになります。
最終的に、最高次数の係数を(2ℓ)!/{2(^ℓ)ℓ!(ℓ－|m|)!}としたℓ次|m|階のルジャンドルの陪多項式を代入すると、規格化された波動関数Θ(θ)が次のように得られます。
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量子力学入門 水素原子の電子軌道 シュレディンガー波動方程式 (改訂)
ここでは掲載していないルジャンドル(Legendre)の規格化定数(normalization constant)を
「付録Ⅰ. 関数Θの規格化」 (pp147-158) に掲載しています。
ISBN
9784802095792
