おもちょぼこの日記帳 -8ページ目

恐ろしき数Ⅲ(3)ワールド Vol.9(最終)

面積や体積を求める問題です。

数学Ⅲ(3)の問題。
・微積総合問題(2)

・微積総合問題(面積)

面積(体積)を積分で求めるときは範囲の設定が必要ですが、範囲を設定するときに微分を利用することが多々あります。
手順を誤りさえしなければ、それぞれの内容自体は難しくないので・・・

・面積、体積の問題

面積、体積を求める問題ですが、これまた少しだけ微分を使います。
「2直線が接する条件(共有接線)」についてはVol.2で既に取り扱っているので、詳しくはそちらを参照してみてください。
2つ以上の関数を使って積分をして面積や体積を求めるときは、どれから何を引くのか、良く確かめた方が良いでしょう。

・体積の問題(やや難)

体積の問題と置換積分の問題を組み合わせたものです。
簡単に解けそうにないものが出てきたら、置換をすることを思い出してみると良いかもしれません。

さて、ここまで色々と大口叩いて数学Ⅲ(3)のことをいろいろ書いてきましたが、どれだけ鬼畜で恐ろしいものなのか良く分かると思います(苦笑)。
「○○ときたら△△」というものが多いので、数々のパターンを多くこなすことが攻略の秘訣かもしれません。
(それをしなかった私は見事第一志望校でずっこけた訳ですが)
当時を振り返ってみながら書きましたが、なんだかんだで中々楽しかったです。

最後に、これまでの問題、解答に間違いが含まれている可能性があるので、鵜呑みにすることだけはご遠慮ください。
早い話、いち個人の解説なんてアテにならないし、為にもならない、ということです。

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★バックナンバー★
Vol.1・・・数Ⅲ(3)、極限、微分法
Vol.2・・・数Ⅲ(3)、微分法、微分法の応用(1)
Vol.3・・・数Ⅲ(3)、微分法の応用(2)
Vol.4・・・数Ⅲ(3)、微分法の応用(3)
Vol.5・・・数Ⅲ(3)、積分法、置換積分
Vol.6・・・数Ⅲ(3)、置換積分、部分積分
Vol.7・・・数Ⅲ(3)、定積分を含む関数
Vol.8・・・数Ⅲ(3)、不等号と積分、区分求積法

恐ろしき数Ⅲ(3)ワールド Vol.8

積分の考え方の原点である区分求積法などです。
この辺の問題は、積分を理解するためにすごく役に立つような気がします。

数学Ⅲ(3)の問題。
・積分と大小関係の問題
・区分求積法

・積分と大小関係

不等号(大小関係)と積分が一緒になっている問題では、与えられた簡単な大小関係の式を、求めたい大小関係の式に上手く持ち込むことが多いようです。
(2)、(3)ではその考えを上手く使わないと手詰まり確定です(汗)。

・区分求積法

積分は、ある形の面積(もしくは、体積)を求めるのにとても便利です。
積分の原点のようなものであるこの問題は、「ある形を沢山の長方形に分けて求めてみよう」というものですね。

タイトルは付けませんでしたが、区分求積法を理解するのに役に立つ問題だと思います。
この問題から、先ほど書いた「沢山の長方形に分けてみよう」の意味と、長方形の数を増やせば精度が上がることが分かりますね。

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恐ろしき数Ⅲ(3)ワールド Vol.7

そろそろ、かなり本格的な問題が出てきます。
微積が混じった問題なんかは面倒過ぎて食わず嫌いになりそうなものばかりです(苦笑)。

数学Ⅲ(3)の問題。
・定積分を含む関数
・定積分を含む関数の微分
・微積総合問題(1)

・定積分を含む関数

手順を踏むのが大変で、覚えにくい問題の一つと言えるかもしれません。
当時、もっとこの手の問題を沢山こなしていたらなあ・・・

・定積分を含む関数の微分

「積分は微分の逆」(歴史的に言えば逆に言った方が良いですが)ということは、積分を微分しちゃえば積分の中身がそっくりそのまま出てきてしまいます。
ただ、積分の形によってはちょっと余計なものが付いてくることも、、、
しかし、余計なものが付いてきても、微分法の公式で見たような形が多いので、対処は容易に出来るはずです。

・微積総合問題(1)

この手の問題って入試で嫌というほど見ました(苦笑)。
特別、解説することはありません(というより、したくない^^;)。

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恐ろしき数Ⅲ(3)ワールド Vol.6

この記事の積分は、いわゆる特殊形の積分というもので、覚えてないと解けない代わりに、覚えていれば絶対解けるお得な問題たちです。
夏の間にマスターできていたら良かったのですが、私は中々覚えられませんでした(努力が足りなかっただけ)。

数学Ⅲ(3)の問題。
・特殊な形の積分

・三角関数に置換する積分(1)

置換積分ですが、三角関数を含む形に置換すると解きやすい問題です。
正弦の三角関数に置換する問題、難しいものだと平方根の中身を、これが使えるように、数式をいじる問題もちらほらあったり・・・

・三角関数に置換する積分(2)

形によっては、半円の考えを使うこともできるよ、というものです。
私は三角関数に置換したほうが楽だと思っていますが・・・

・部分積分法(1)

積分は掛け算が入ってくると一気にややこしくなりますが、そのややこしさを解消してくれるのが部分積分法です。
上手く使えば、掛け算をただの足し算、引き算の形に変形できますね。

・部分積分法(2)

部分積分を繰り返すと、元の積分の形がそのまま出てくることもあります。
三角関数がある場合は特に多かったように思います。
こんなときは元の積分をある文字に置き換えてあげれば、簡単に解けますね。

・部分積分法の問題

部分積分を使った、ちょっと面倒な問題です。
ひとつ前の問題のように、同じ積分が出てくることを利用して、乗数を上手く落としていくことが出来ます。

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恐ろしき数Ⅲ(3)ワールド Vol.5

数学Ⅲ(3)の問題。
・積分法(不定積分、置換積分)

数学と言えば、もはや積分に尽きると言っても過言ではないような気がします。
私は重いテーマを話すのが苦手なので割愛しますが、二言で言えば奥が深く、そして限りなく面倒です。
とりあえずは、この記事の1枚目のシートだけ覚えればいいのですが・・・

・不定積分の方法、いくつかの公式

・不定積分・定積分の計算

「積分は微分の逆」という考えを使って、なるべく考え方も書くようにしてみました。
こんな幼稚な覚え方をするから、私は複雑な積分が解けないのですね(汗)

・置換積分法

これを初めて聞いたとき笑いが起きたのは、私のいたクラスだけではないはず。
ともかく、置換するときは全ての文字を置換してあげなければならないことに気を付けば何とかなる範囲です。

・置換積分の練習問題

早い話、微分積分は問題のこなす量で決まるような気がします。
「あっ、これは見たことがあるぞ」という感じで、ピンとこないとパッパと解けないのが積分なんですよね。
大学の授業でもいつも悩まされます(汗)

・おまけ

ひとつ前の問題と全く同じですが、「積分は微分の逆」の考えを使うと、簡単な問題なら結構楽にできるよ、ってやつですね。
ただ、応用できる問題は少なめ(のような気がする)、というわけで、素直に置換したほうが良いかも・・・

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