昨年末くらいから、「預貯金口座にマイナンバーを関連づけるので、銀行等にマイナンバーを提出する制度が平成30年１月にはじまる」みたいな記事がたくさん出ています。
必要があれば銀行から案内があると思いますので、何も連絡がなければ、自らアクションは起こさずに静観しておくのをオススメします。
ただし、現時点では「預貯金者の義務ではない」ということはあらかじめ知っておいた方がいい。
金融機関側に「預貯金者の氏名・住所・預貯金の内容を、その人のマイナンバーで検索することができる状態で管理しなければならない」という義務がある（国税通則法第七十四条の十三の二）のであって、預貯金者が金融機関にマイナンバーを届出なければならないという義務はありません。
給与を受け取っている会社にマイナンバーの提出を求められたのと構図は同じで、「我々（金融機関）が義務を果たすために、皆さん（預貯金者）マイナンバーの届出をお願いします」ということなのです。頭の片隅に憶えておきましょう。
なお、「税務調査、資産調査への回答にも使われる」と書いてある記事もあるので嫌な印象を受ける方もいるかと思いますが、これはマイナンバー制度の開始以前から行われていることですので、いまさら不安になることはありません。
むしろ調査が円滑に行われることになりますから、制度が想定通りに動けば、「行政の効率化」には繋がるでしょうね。