2行2列の行列式のA^n

A^nは

x^nをx^2-trAx+detAで割って商と余りを、求めて、代入すれば求めれます。

また、対角化するのもありです。ただ、インバースの、計算もすることを考えると、計算量は同じぐらいでしょう。