ロッサムロッサム！

被積分関数が基本的な関数の定数倍のとき。（f(x) = c･g(x)）

　　F(x) = c･G(x)

[例] ∫5cos(x) dx = 5∫cos(x) dx = 5sin(x) + C

関数の和の積分　（f(x) = u(x) + v(x)）

　　F(x) = U(x) + V(x)

[例] ∫(sin(x) + cos(x)) dx = ∫sin(x) dx +∫cos(x) dx = -cos(x) + sin(x) + C

関数の積の積分（部分積分）（f(x) = u(x)･v(x)）

　　F(x) = U(x)･v(x) - ∫(U(x)･v'(x))dx

[例] ∫x･cos(x) dx = x∫cos(x) dx -∫{(dx/dx)(∫cos(x) dx)}dx =x･sin(x) -∫sin(x) dx

　　= x･sin(x) + cos(x) + C

[例] ∫log(x) dx = ∫1･log(x) dx = log(x)･∫1 dx -∫{(d(log(x)/dx)(∫1 dx)}dx

　　= x･log(x) - ∫(1/x)･x dx = x･log(x) - x + C

[例] I_n=∫sinⁿ(x) dx = ∫sin^n-1(x)･sin(x) dx

　　= sin^n-1(x)･∫sin(x) dx -∫(d(sin^n-1(x))/dx)(∫sin(x) dx) dx

　　= sin^n-1(x)･(-cos(x)) -∫(n-1) sin^n-2(x)･cos(x)･(-cos(x))dx

　　= -sin^n-1(x)･cos(x) + (n-1)∫sin^n-2(x)･cos²(x)dx

　　= -sin^n-1(x)･cos(x) + (n-1)∫sin^n-2(x)･(1 - sin²(x))dx

　　= -sin^n-1(x)･cos(x) + (n-1){∫sin^n-2(x) dx - ∫sinⁿ(x) dx}

　　= -sin^n-1(x)･cos(x) + (n-1)(I_n-2 - I_n)

　　I_n + (n-1) I_n=(n-1)I_n-2 - sin^n-1(x)･cos(x)

　　I_n = ((n-1)/n)･I_n-2 - (1/n)･ sin^n-1(x)･cos(x)

合成関数の積分（置換積分）（f(u(x))･u'(x)）

　　F(x) =∫f(u)･u'dx

[例] F(x) =∫cos(2x) dx : u = 2xとおく。両辺をxで微分する。 du/dx = 2 つまり　du = 2dx

　　従ってF(x) = (1/2)∫cos(u)du= (1/2)sin(2x) + C

[例] F(x) =∫cos²(x) dx : cos(2x) = 2cos²(x) -1 を利用。　cos²(x) = (cos(2x) + 1)/2

　　従ってF(x) = ∫(cos(2x) + 1)/2 dx= (1/4)sin(2x) + (1/2)x + C

[例] F(x) =∫(√(1 - x²) dx : x = sin(u) とおくと、dx = cos(u)du

　　従ってF(x) = ∫(√(1 - sin²(u)))･cos(u)du = ∫cos²(u) du = (1/4)sin(2u) + (1/2)u + C

　　　　　　= (1/4)･2sin(u)cos(u) + (1/2)u + C = (1/2)･x(√(1 - x²)) + arcsin(x) + C

[例] F(x) =∫cos²ⁿ⁺¹(x) dx = ∫cos²ⁿ(x)･cos(x) dx : u = sin(x) とおき、両辺をxで微分する。

　　du/dx = cos(x) つまり　du = cos(x)dx 　また　cos²(x) = 1 - u² である。

　　従って、F(x) = ∫(1 - u²)ⁿdu

　　例えば　n = 2 であれば、F(x) = ∫(1 - u²)²du

　　=∫(1 - 2u ²+ u⁴)du = u - (2/3)u³ + (1/5)u⁵ + C = sin(x) - (2/3)sin³(x) + (1/5)sin⁵(x) + C

[例] F(x) =∫1/(√(1 + x²) dx : x = tan(u) とおくと、dx = sec²(u)du

　　また　1 + x² = 1 + tan²(u) = sec²(u)

　　従ってF(x) = ∫1/(√sec²(u))･sec²(u)du = ∫sec(u) du= ∫1/cos(u) du となる。

　　ここで　t = tan (u/2) とおくと、dt = (1/2)sec²(u/2)du = (1/2){1 + tan²(u/2)}du = (1/2){1 +t²}du

　　つまり、du = 2/(1 + t²)･dt

　　　また　cos(u) = cos(2･(u/2)) = 2cos²(u/2) - 1 = {2/(1 + tan²(u/2))} - 1 = (1 - t²)/(1 + t²)　

　　　　　　sin(u) = sin(2･(u/2)) = 2sin(u/2)cos(u/2) = 2{sin(u/2)/cos(u/2)}cos²(u/2) = 2tan(u/2){1/(1+tan²(u/2))}=2t/(1+t²)

　　従って、∫1/cos<(u) du = 2∫{(1+t²)/(1-t²)}{1/(1+t²)}dt = 2∫{1/(1-t²)}dt

　　　　=∫{1/(1-t) + 1/(1+t)}dt= -log|(1-t)| + log|(1+t)| + C = log |(1+t)/(1-t)| + C = log |(1+t)²/(1-t²)| + C

　　　　= log |{(1+t)²/(1+t²)}/{(1-t²)/(1+t²)}| + C = log |{1+2t/(1+t²)}/cos(u)| + C = log |{1+sin(u)}/cos(u)| + C

　　　　= log |sec(u)+tan(u)| = log|{√(1 + x²)} + x| + C

[例] F(x) =∫(2x/(1 + x²) dx : u = 1 + x²とおき、両辺をxで微分する。 du = 2x dx

　　従ってF(x) = ∫(1/u) du= log(u) + C = log(1 + x²) + C




∫{1/f(x)}･f'(x) dx の形の積分は、u = f(x) とおくと du = u'dx なので ∫{1/u}･du と書ける。 ∫{1/u}･du = log |u| + C = log |f(x)| + C となる。　この形の積分を特に対数積分と呼ぶことがある。

　　　　

[例] F(x) =∫tan(x) dx = ∫{sin(x)/cos(x)} dx であるから、u = cos(x) とおくと du = -sin(x)dx

　　対数積分の形をしているので、 F(x) = -log |cos(x)| + C

[例] F(x) =∫1/{(2x - 1)(x + 1)}dx = ∫{(2/3)/(2x - 1) - (1/3)/(x + 1)} dx = (1/3){log |2x-1| - log |x + 1|}

　　　　= (1/3) log |(2x - 1)/(x + 1)| + C

みし全滅された(BlogPet)

きのうみしゃこが、みしゃと全滅された。

*このエントリは、ブログペットの「みしゃこ」が書きました。

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