あ

a1=cos(2π/p)…①
an+1=√{(1+an)/2}…②

求める値
lim(n→∞) (2^n)p√{2/(1+an) -1}
のlim(n→∞)を取り除いた形の値をαとおく

②より
(an+1)^2=(1+an)/2
∴{2/(1+an)}(an+1)^2=1…③

このとき、
2/(1+an)
=1+{(1-an)/(1+an)}
と変形できるので、③より

(an+1)^2 + {(1+an)/(1-an)}{(an+1)^2}=1

これより、
bn+1=an+1√{(1+an)/1-an}…④
とおくと、座標平面上の点(an+1,bn+1)は、

円Ｏ:x^2 + y^2=1…⑤

上の点である。

④を変形して、
bn+1=an+1{(1-a)n/√(1- an^2)}
=an+1√{2/(an+1) -1}

an+1、bn+1をx、yで置きかえて、

直線l:y=√{2/(an+1) -1}x…⑥

円Ｏと直線lの交点Ａを求める
⑤⑥より点Ａの座標は
x=√{(1+an)/2}
y=√{(1-an)/2}

このとき、x座標はan+1の値と一致

一方、
円Ｏ上の点(1,0)における接線は
x=1…⑦

円Ｏ上の点(an,√(1- an^2))における接線は
anx + √(1- an^2)y=1…⑧

⑦⑧の交点を求めると、
x=1
y=√{2/(an+1) -1}…⑨

この点が⑥を満たすことから、数列{an}について、以下のことが言える。

円Ｏについて、x=anを満たす点Ｂにおける接線と、点Ｃ(1,0)における接線(つまりx=1)との交点Ｄをとり、点Ｄと原点を結ぶ直線を直線lとし、直線lと円Ｏの交点Ａをとると、点Ａはx=an+1を満たす。

ただし、
a1=cos(2π/p)(∵①)

このとき、
△ＯＢＤ≡△ＯＣＤ
が言えるので、
∠ＢＯＣ=2∠ＡＯＣ…⑩


また、⑨より
ＡＢ+ＡＣ=2√{2/(an) -1}

この値をβとおくと、

α=β{2^(n-1)}p

2π/pの大きさの角度p個ぶんが2πとなるので、任意の自然数qに対して、

y=cos(2πq/p)

を満たす直線と円Ｏの交点はp個存在する。また、それぞれの点における接線をひいたときの交点で、正p角形をつくることができる。

これはa1のときなので、anについて考えると、できるのは⑩より

正{n^(n-1)}p角形である
この値をγとおくと

α=βγ

ここで、ＡＢ、ＡＣはそれぞれ正γ角形の一辺の長さの半分なので、βγは正γ角形の辺の長さに等しい。αも同様。

n→∞はγ→∞と表せるので、求める値は、

円に外接する正γ角形の辺の長さの総和の極限値(γ→∞)













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