連続する3つの自然数の3乗の和は9の倍数であるか
photo credit: sparr0アメブロとは関係ない日記的な話題ですが・・・（スミマセン）
２ちゃんねるのまとめブログに「連続する3つの自然数の3乗の和は9の倍数であるか」という記事が載っていたので考えてみたら意外と難しかった、というお話です。
えー、そんな訳ないじゃんと思いつつも、適当に代入して計算してみると・・・
1,2,3の場合→1+8+27=36→9の倍数！
5,6,7の場合→125+216+343=684→9の倍数！
おおお！マジかよ！！どうやら本当らしい。
ところが結局答えは載っていなかったので、忘れることにした。
しかし、気になって眠れなかった・・・
こんなことより気にしないといけないことが沢山あるというのに。。。
というわけで頑張って考えてみたけど、意外に難しかったです。
答え1
3つの連続する自然数が n,n+1,n+2だとする。
n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 と、(n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3と比較したとき (n+1)^3 + (n+2)^3 の部分は同じなので、純粋に増加した数は (n+3)^3 - n^3 である。
つまり n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 が9の倍数の時、(n+3)^3 - n^3 が9の倍数なら (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3 も9の倍数である。（9の倍数に9の倍数を足すと9の倍数になる）
(n+3)^3 - n^3を展開すると、9(n^2 + 3n + 3) となる。よってこれは9の倍数である。
n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 のうち、最も小さな解は n=1 の時の36でこれは9の倍数なので、nはどんな値を取っても9の倍数である。
答え2
3つの連続する自然数が n-1,n,n+1だとする。
それぞれ3乗して足すと、3n( n^2 + 2)となる。
これが9の倍数になるためには、n(n^2 + 2) が3の倍数になればよい。
つまり、n か n^2+2 かのどちらかが3の倍数であればよい。
nが3の倍数ではない時、n^2 + 2は (3k + 1)^2 + 2 かもしくは (3k + 2)^2 + 2 かのどちらかである。
前者の場合、展開すると 3(3k^2 + 2k + 1) 後者の場合、3(3k^2 + 4k + 2) となり、どちらの場合も3の倍数になる。
したがって、3n( n^2 + 2)は9の倍数である。
まとめ
最後まで答えが載っていなかったのでモヤッとしている人もいるかと思い記事に書いてみましたが、殆どの人が興味ないと思います。スミマセン。。。
しかしながら、たまにこういう懐かしげな問題に取り組むのも気分転換になってよいですね。