『心理統計法』の印刷教材では「３囚人問題」の説明がわかりにくいので
私が説明するならこのようにするというものを紹介しておきます
【問】
ある監獄では、罪状はいずれも似たりよったりである３人の死刑囚Ａ、Ｂ、Ｃがそれぞれ独房に入れられている。３人まとめて処刑される予定であったが、１人が恩赦になって釈放され、残り２人が処刑されることとなった。だれが恩赦になるか知っている看守に「私は助かるのか」と囚人が聞いても看守は答えない。そこでＡは「ＢとＣのうち少なくとも１人処刑されるのは確実なのだから、２人の中で処刑される１人の名前を教えてくれても私についての情報を与えることにはならないだろう。１人を教えてくれないか」と頼んだ。看守はＡの言い分に納得して、「囚人Ｂが処刑(dead)される」と答えた。それを聞いたＡは「これで自分が助かる(alive)確率は １／３ から １／２ に増えた」と喜んだ。実際には、この情報を得た後、Ａの釈放される確率は増えたのか？
少し話が込み入っているので、まず注目している確率を確認しておくと
Ａが生き残る確率
です
この確率が
Ｂは処刑される
という「情報」を得ることによって変化するのか
がこの問題の趣旨になります
ここで「情報」を得る前のＡが生き残る確率を事前確率
「情報」を得た後のＡが生き残る確率を事後確率といいます
印刷教材では式がズラズラ並んでいて、とてもわかりにくいけど
確率を考えるときには図を描いて面積で考えるのがいいです
情報を得る前は、Ａ自身がそう思っているように
Ａ、Ｂ、Ｃが生き残る確率はそれぞれ １／３ と考えましょう。
これを図を使って表すと下のようになりますね
注目しているのはＡが生き残る確率なので
事前確率 ＝ １／３
です
ここで看守がＡに対して「Ｂは処刑される」「Ｃは処刑される」の
どちらの情報を伝えるのか、それぞれの場合で見ていきましょう
・Ａが生き残る場合
この場合にはＢとＣが処刑されるので、看守は
「Ｂは処刑される」「Ｃは処刑される」どちらを伝えてもいいです
そこで、それぞれの確率を １／２ で伝えることにすると
図はさらに次のように書くことができます
・Ｂが生き残る場合
この場合にはＡとＣが処刑されるので、看守は自動的に
「Ｃは処刑される」と伝えることになります
したがって図は下のように書き加えることができます
・Ｃが生き残る場合
この場合にはＡとＢが処刑されるので、看守は自動的に
「Ｂは処刑される」と伝えることになります
したがって図は下のように書き加えることができます
ここまで来たらいよいよ「Ｂは処刑される」という情報を得る段階です
この情報を得ることによって、一部の可能性が消えますね
「Ｃは処刑される」と伝えている部分です
なので図は次のように一部だけが残ることになります
起こり得る確率を全部足して １ になる必要があるので、残った
「Ａが生き残りＢは処刑と伝える」と「Ｃが生き残りＢは処刑と伝える」を
足して面積が １ になるように補正（正規化）します
この結果、Ａは「Ｂは処刑される」という情報を得た後も
生き残る確率は変化せず １／３ のままとなります
つまり
事後確率 ＝ １／３
となるわけです
これが多くの人の直観に反する結果となっているので
「３囚人問題」は、よく似た「モンティ・ホール問題」とともに
有名な数学ネタになっています
（ここからちょっと難しいよ
）
ここで、Ａが生き残る場合について
看守が「Ｂは処刑される」「Ｃは処刑される」と伝える確率が
それぞれ １／２ の確率ではないとしてみましょう
急に数学っぽくなりますが「Ｂが処刑される」と伝える確率を ｐ、
「Ｃは処刑される」と伝える確率を １－ｐ と考えてみるのです
すると最後から２番目に示した図は下のようになります
これを正規化することによってＡが生き残る事後確率 ｑ は
と計算することができます
さっきは ｐ ＝ １／２ だったので事後確率は １／３ でした
次に ｐ の分布を考えてみましょう
この部分がわかりにくいんだけど確率 ｐ の確率分布です
例えば成人女性の平均身長の分布といえば
こんな形（ほぼ正規分布）になることが知られているけど
これと同じように ｐ についても分布を考えちゃおうってこと
もちろん ｐ は確率なので ０～１ の範囲しか値しかとらず
その範囲で一様分布に従うと仮定します
つまり
確率 ｐ が
のような分布をとるってことです
p がこのような分布をとるときに q はどのような分布 g(q) をとるか
がここで考えたい最終的な結論になります
この求め方は分布関数を使って求める方法とそうでない方法と
２通りあるんですが…どちらも結局「微分」を使います
（ここからガチガチの数学です）
もしも p が p ～ p + Δp の範囲にあったときに
q が q ～ q + Δq の範囲にあったとしてます
つまり p については
このようにある微小範囲にあるとします
求めたい q の分布 g(q) はわからないけど
q は p の関数なので自動的に連動して
仮に上のような範囲を動くことになりますね
ここで p と q は関数でつながっているので
この２つのピンクの面積（確率）は等しくなる必要があり
Δp と Δq が十分に小さいと考えれば
２つのピンクの部分をともに長方形と見て計算すると
という式が得られます
ここで両辺を Δp で割って Δp → 0 (Δq → 0) の極限をとれば
という微分を用いた式で書けることになります
いま f(p) = 1 はわかっていて、数Ⅲの知識を使う必要があるけど
なので上の式に代入してあげれば
が得られます
最後に p と q の関係式を式変形してあげれば
なのでこれを上の g(q) の式に代入すれば印刷教材の最後にある
となるんです
なお p = 0 のとき q = 0, p = 1 のとき q = 1/2 になるので
0 ≦ q ≦ 1/2 の範囲をとりグラフにすると
印刷教材の最後と同じものになりますね
最後の方はちょっと難しかったかもしれないけど
「事前確率」と「事後確率」の意味が伝わればいいなぁ