「1の平方根は±1である」
「√1=1である」
という問題を中学校3年生で扱います。
「どっちがプラスマイナスつくか」で生徒はしばしば間違えます。
「√1=±1はバツだぞ！」と教えます。
しかし、本当に√1=±1は間違いでしょうか？
√1
=√(-1)²
={(-1)²}^(1/2)
=-1
√1
=(cos360°+isin360°)^(1/2)
=cos180°+isin180°
=-1
この式変形はどこが間違っていますか？これを指摘できる中学校の教員はどのくらいいるのでしょうか。
結論からいうと複素数の範囲まで数を広げた場合、指数関数は多価関数となるため、zを複素数とするとf(z)=√zは多価関数です。したがってf(1)の値は1つに定まらないため、√1は1にも-1にもなるのです。
数の範囲が実数の範囲では「√1=1である」ということは正しいですが、複素数まで広げると話は変わってきます。そんなことを知っておくと指導の幅が広がりそうですね。