今回は下の命題を考えていきます。
命題 次の二つは同値
①奇数であれば3倍してから1を加え，偶数であれば2で割る操作を続けると
どんな自然数も[1 → 4 → 2 → 1]のループにたどり着く
②奇数であれば1を加えてから3倍し，偶数であれば2で割る操作を続けると
どんな自然数も[3 → 12 → 6 → 3]のループにたどり着く
今回は②を満たせば①も満たすことを示します。
まずはコラッツの問題についての漸化式を与えます。
ここから次のような数列を作りましょう。
すると
すなわち
よって②を満たせば
この数列は[3 → 12 → 6 → 3]のループに必ず入ることになる。
これらを3で割ることで
元のコラッツの問題の数列も[1 → 4 → 2 → 1]のループに入ることがわかります。
つまり①を満たします。
コラッツの問題④に続く
命題 次の二つは同値
①奇数であれば3倍してから1を加え，偶数であれば2で割る操作を続けると
どんな自然数も[1 → 4 → 2 → 1]のループにたどり着く
②奇数であれば1を加えてから3倍し，偶数であれば2で割る操作を続けると
どんな自然数も[3 → 12 → 6 → 3]のループにたどり着く
今回は②を満たせば①も満たすことを示します。
まずはコラッツの問題についての漸化式を与えます。
ここから次のような数列を作りましょう。
すると
すなわち
よって②を満たせば
この数列は[3 → 12 → 6 → 3]のループに必ず入ることになる。
これらを3で割ることで
元のコラッツの問題の数列も[1 → 4 → 2 → 1]のループに入ることがわかります。
つまり①を満たします。
コラッツの問題④に続く